Nilai maksimum dari bentuk objektif k=3x+4y yang memenuhi

Nilai maksimumnya adalah 24.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, kita perlu menggunakan metode program linear, khususnya metode titik sudut (corner point method).

Sistem pertidaksamaannya adalah:
1. x ≥ 0
2. y ≥ 0
3. 2x + y ≤ 11
4. x + 2y ≤ 10

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. **Gambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:**
   - Pertidaksamaan 1 (x ≥ 0) berarti daerah berada di sebelah kanan sumbu y.
   - Pertidaksamaan 2 (y ≥ 0) berarti daerah berada di atas sumbu x.
   - Pertidaksamaan 3 (2x + y ≤ 11): Gambar garis 2x + y = 11. Titik potong sumbu x (y=0) adalah 2x = 11 => x = 5.5 (titik (5.5, 0)). Titik potong sumbu y (x=0) adalah y = 11 (titik (0, 11)). Daerahnya di bawah garis ini.
   - Pertidaksamaan 4 (x + 2y ≤ 10): Gambar garis x + 2y = 10. Titik potong sumbu x (y=0) adalah x = 10 (titik (10, 0)). Titik potong sumbu y (x=0) adalah 2y = 10 => y = 5 (titik (0, 5)). Daerahnya di bawah garis ini.

   Daerah penyelesaian adalah area yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis 2x + y = 11, dan garis x + 2y = 10.

2. **Tentukan titik-titik sudut (titik pojok) dari daerah penyelesaian:**
   - Titik A: Perpotongan sumbu x dan sumbu y adalah (0, 0).
   - Titik B: Perpotongan sumbu x dan garis x + 2y = 10. Jika y=0, maka x=10. Tapi ini di luar daerah yang dibatasi oleh 2x+y<=11. Titik sudut di sumbu x adalah perpotongan 2x+y=11 dengan sumbu x yaitu (5.5, 0). Namun, kita perlu mengecek apakah titik ini memenuhi x+2y<=10. 5.5 + 2(0) = 5.5 <= 10. Jadi (5.5, 0) adalah titik sudut. Wait, harusnya cek dengan sumbu y dulu. 
   - Titik B (perpotongan sumbu y dan garis 2x + y = 11): Jika x=0, y=11. Titik (0,11). Cek dengan x+2y<=10: 0 + 2(11) = 22. 22 bukan <= 10. Jadi (0,11) bukan titik sudut yang valid. 
   - Titik B (perpotongan sumbu y dan garis x + 2y = 10): Jika x=0, 2y=10, y=5. Titik (0,5). Cek dengan 2x+y<=11: 2(0)+5 = 5. 5 <= 11. Jadi (0,5) adalah titik sudut.
   - Titik C: Perpotongan garis 2x + y = 11 dan garis x + 2y = 10.
     Dari 2x + y = 11, kita dapatkan y = 11 - 2x.
     Substitusikan ke persamaan kedua:
     x + 2(11 - 2x) = 10
     x + 22 - 4x = 10
     -3x = 10 - 22
     -3x = -12
     x = 4
     Sekarang cari nilai y:
     y = 11 - 2x = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3.
     Jadi, titik C adalah (4, 3).
   - Titik D (perpotongan sumbu x dan garis 2x + y = 11): Jika y=0, 2x=11, x=5.5. Titik (5.5, 0). Cek dengan x+2y<=10: 5.5 + 2(0) = 5.5. 5.5 <= 10. Jadi (5.5, 0) adalah titik sudut.

   Jadi, titik-titik sudut daerah penyelesaian adalah: (0, 0), (0, 5), (4, 3), dan (5.5, 0).

3. **Substitusikan koordinat setiap titik sudut ke dalam bentuk objektif k = 3x + 4y:**
   - Di titik (0, 0): k = 3(0) + 4(0) = 0
   - Di titik (0, 5): k = 3(0) + 4(5) = 20
   - Di titik (4, 3): k = 3(4) + 4(3) = 12 + 12 = 24
   - Di titik (5.5, 0): k = 3(5.5) + 4(0) = 16.5

4. **Tentukan nilai maksimum:**
   Nilai k terbesar yang diperoleh adalah 24, yang terjadi pada titik (4, 3).

Jadi, nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x + 4y adalah 24.