Nilai maksimum dari fungsi obyektif 2x+3y yang memenuhi

45

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi obyektif 2x+3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 3x+2y>=12; x+y<=15; x>=0; y>=0, kita perlu menentukan titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Menggambar daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan.
   - 3x + 2y = 12. Titik potong sumbu x (y=0): 3x=12 => x=4. Titik (4,0). Titik potong sumbu y (x=0): 2y=12 => y=6. Titik (0,6).
   - x + y = 15. Titik potong sumbu x (y=0): x=15. Titik (15,0). Titik potong sumbu y (x=0): y=15. Titik (0,15).
   - x >= 0 (daerah di kanan sumbu y)
   - y >= 0 (daerah di atas sumbu x)

2. Menentukan titik potong antara garis-garis batas:
   - Titik potong antara 3x+2y=12 dan x+y=15.
     Kalikan persamaan kedua dengan 2: 2x + 2y = 30.
     Kurangkan persamaan pertama dari hasil ini: (2x+2y) - (3x+2y) = 30 - 12 => -x = 18 => x = -18. Ini tidak mungkin karena x>=0.
     Mari kita coba kalikan persamaan kedua dengan 3: 3x + 3y = 45.
     Kurangkan persamaan pertama dari hasil ini: (3x+3y) - (3x+2y) = 45 - 12 => y = 33. Maka x = 15 - 33 = -18. Masih salah.
     Mari kita kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
     (3x+2y) - (x+y) = 12 - 15 => 2x + y = -3. Ini juga tidak membantu.
     
     Mari kita selesaikan sistem persamaan linear 3x+2y=12 dan x+y=15 dengan metode substitusi atau eliminasi yang benar:
     Dari x+y=15, maka y = 15-x.
     Substitusikan ke 3x+2y=12:
     3x + 2(15-x) = 12
     3x + 30 - 2x = 12
     x + 30 = 12
     x = 12 - 30
     x = -18.
     Ini menunjukkan bahwa kedua garis berpotongan di luar kuadran pertama, yang berarti titik potong antara kedua garis tersebut bukanlah titik pojok yang relevan untuk daerah penyelesaian kita, karena kita memiliki batasan x>=0 dan y>=0.

     Kita perlu memeriksa titik potong garis batas dengan sumbu koordinat dan titik potong antara garis batas itu sendiri yang berada dalam kuadran pertama.
     
     Titik potong yang relevan adalah:
     a. Titik potong 3x+2y=12 dengan sumbu y (x=0): 2y=12 => y=6. Titik (0,6).
     b. Titik potong 3x+2y=12 dengan sumbu x (y=0): 3x=12 => x=4. Titik (4,0).
     c. Titik potong x+y=15 dengan sumbu y (x=0): y=15. Titik (0,15).
     d. Titik potong x+y=15 dengan sumbu x (y=0): x=15. Titik (15,0).
     
     Sekarang kita harus menentukan daerah penyelesaiannya. Pertidaksamaan 3x+2y >= 12 berarti daerah di atas atau pada garis 3x+2y=12. Pertidaksamaan x+y <= 15 berarti daerah di bawah atau pada garis x+y=15. x>=0 dan y>=0 membatasi pada kuadran pertama.
     
     Titik-titik pojok yang mungkin adalah:
     - (4,0) : memenuhi x+y<=15 (4+0<=15) 
     - (15,0) : memenuhi 3x+2y>=12 (3*15+2*0 = 45 >= 12)
     - (0,6)  : memenuhi x+y<=15 (0+6<=15)
     - (0,15) : memenuhi 3x+2y>=12 (3*0+2*15 = 30 >= 12)
     
     Perlu dicari titik potong antara 3x+2y=12 dan x+y=15, namun seperti yang dihitung di atas, titik potongnya di luar kuadran pertama. Ini berarti bahwa daerah penyelesaian dibatasi oleh segmen garis dari (4,0) ke (0,6) dan segmen garis dari (0,15) ke (15,0), serta sumbu x dan y.
     
     Namun, jika kita menggambar daerahnya, daerah yang memenuhi 3x+2y >= 12 adalah di atas garis yang menghubungkan (4,0) dan (0,6). Daerah yang memenuhi x+y <= 15 adalah di bawah garis yang menghubungkan (15,0) dan (0,15). Karena x>=0 dan y>=0, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang dibatasi oleh titik (4,0), (15,0), (0,15), dan (0,6). Namun, ini juga tidak benar karena ada daerah yang perlu diperiksa.
     
     Titik-titik pojok yang benar adalah perpotongan garis-garis batas di dalam atau pada batas kuadran pertama:
     1. Perpotongan 3x+2y=12 dengan sumbu-x: (4,0).
     2. Perpotongan x+y=15 dengan sumbu-x: (15,0).
     3. Perpotongan x+y=15 dengan sumbu-y: (0,15).
     4. Perpotongan 3x+2y=12 dengan sumbu-y: (0,6).
     
     Kita perlu memastikan bahwa titik-titik ini memenuhi semua pertidaksamaan.
     - Titik (4,0): 3(4)+2(0)=12 (>=12 OK). 4+0=4 (<=15 OK). x>=0, y>=0 OK.
     - Titik (15,0): 3(15)+2(0)=45 (>=12 OK). 15+0=15 (<=15 OK). x>=0, y>=0 OK.
     - Titik (0,15): 3(0)+2(15)=30 (>=12 OK). 0+15=15 (<=15 OK). x>=0, y>=0 OK.
     - Titik (0,6): 3(0)+2(6)=12 (>=12 OK). 0+6=6 (<=15 OK). x>=0, y>=0 OK.
     
     Perlu dicari titik potong antara 3x+2y=12 dan x+y=15, namun ternyata titik potongnya adalah x=-18, y=33, yang berada di luar kuadran pertama. Ini berarti kedua garis tidak berpotongan di kuadran pertama.
     
     Oleh karena itu, titik-titik pojok yang perlu diuji adalah titik-titik potong dengan sumbu di dalam daerah yang valid:
     Titik pojok adalah perpotongan dari:
     - 3x+2y=12 dan x=0 => (0,6)
     - 3x+2y=12 dan y=0 => (4,0)
     - x+y=15 dan x=0 => (0,15)
     - x+y=15 dan y=0 => (15,0)
     
     Kita uji nilai fungsi obyektif Z = 2x+3y pada titik-titik pojok ini:
     - Pada (4,0): Z = 2(4) + 3(0) = 8.
     - Pada (15,0): Z = 2(15) + 3(0) = 30.
     - Pada (0,15): Z = 2(0) + 3(15) = 45.
     - Pada (0,6): Z = 2(0) + 3(6) = 18.
     
     Nilai maksimum dari fungsi obyektif 2x+3y adalah 45, yang terjadi pada titik (0,15).