Nilai maksimum f(x)=4 x^3-18x^2+15x-20 pada interval

Nilai maksimum fungsi f(x) = 4x³ - 18x² + 15x - 20 pada interval [2, 4] adalah 8.

Pembahasan

Untuk menemukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 4x³ - 18x² + 15x - 20 pada interval [2, 4], kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut, mencari titik kritisnya, dan mengevaluasi fungsi di titik kritis dan di ujung interval.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
f'(x) = d/dx (4x³ - 18x² + 15x - 20)
f'(x) = 12x² - 36x + 15

Langkah 2: Cari titik kritis dengan mengatur f'(x) = 0.
12x² - 36x + 15 = 0
Bagi seluruh persamaan dengan 3:
4x² - 12x + 5 = 0
Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari akar-akarnya: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 4, b = -12, c = 5.
x = [12 ± √((-12)² - 4 * 4 * 5)] / (2 * 4)
x = [12 ± √(144 - 80)] / 8
x = [12 ± √64] / 8
x = [12 ± 8] / 8

Dua titik kritis adalah:
x1 = (12 + 8) / 8 = 20 / 8 = 5/2 = 2.5
x2 = (12 - 8) / 8 = 4 / 8 = 1/2 = 0.5

Langkah 3: Evaluasi f(x) pada titik kritis yang berada dalam interval [2, 4] dan pada ujung interval.
Interval yang diberikan adalah [2, 4].
Titik kritis yang berada dalam interval ini adalah x = 2.5.
Kita perlu mengevaluasi f(x) pada x = 2, x = 2.5, dan x = 4.

a. Evaluasi pada x = 2:
f(2) = 4(2)³ - 18(2)² + 15(2) - 20
f(2) = 4(8) - 18(4) + 30 - 20
f(2) = 32 - 72 + 30 - 20
f(2) = 62 - 92
f(2) = -30

b. Evaluasi pada x = 2.5 (atau 5/2):
f(2.5) = 4(2.5)³ - 18(2.5)² + 15(2.5) - 20
f(2.5) = 4(15.625) - 18(6.25) + 37.5 - 20
f(2.5) = 62.5 - 112.5 + 37.5 - 20
f(2.5) = 100 - 132.5
f(2.5) = -32.5

c. Evaluasi pada x = 4:
f(4) = 4(4)³ - 18(4)² + 15(4) - 20
f(4) = 4(64) - 18(16) + 60 - 20
f(4) = 256 - 288 + 60 - 20
f(4) = 316 - 308
f(4) = 8

Langkah 4: Bandingkan nilai-nilai f(x) yang diperoleh.
Nilai-nilai yang diperoleh adalah f(2) = -30, f(2.5) = -32.5, dan f(4) = 8.
Nilai maksimum di antara nilai-nilai ini adalah 8.

Jadi, nilai maksimum f(x) = 4x³ - 18x² + 15x - 20 pada interval 2 ≤ x ≤ 4 adalah 8.