Nilai maksimum f (x,y)=5x+10y di daerah yang diarsir adalah

40

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi objektif \(f(x,y) = 5x + 10y\) pada daerah yang diarsir, kita perlu mengevaluasi fungsi tersebut pada titik-titik sudut (vertex) daerah layak tersebut. Daerah layak dibatasi oleh garis-garis berikut:

1. Garis yang melewati titik (0, 4) dan (4, 0). Gradiennya adalah \(\frac{0-4}{4-0} = -1\). Persamaan garisnya adalah \(y - 0 = -1(x - 4)\) atau \(y = -x + 4\) atau \(x + y = 4\).
2. Garis horizontal \(y = 4\).
3. Garis vertikal \(x = 0\) (sumbu y).
4. Garis horizontal \(y = 0\) (sumbu x).

Daerah yang diarsir adalah segitiga dengan titik-titik sudut:

*   Titik A: Perpotongan \(x=0\) dan \(y=4\). Jadi, A = (0, 4).
*   Titik B: Perpotongan \(x=0\) dan \(x+y=4\). Substitusi \(x=0\) ke \(x+y=4\) memberikan \(0+y=4\), jadi \(y=4\). Titik B = (0, 4). Titik A dan B adalah sama.
*   Titik C: Perpotongan \(y=4\) dan \(x+y=4\). Substitusi \(y=4\) ke \(x+y=4\) memberikan \(x+4=4\), jadi \(x=0\). Titik C = (0, 4). Titik A, B, dan C adalah sama.

Ini menunjukkan bahwa saya salah menginterpretasikan daerah yang diarsir dari deskripsi gambar saja. Gambar menunjukkan sebuah segitiga dengan titik-titik sudut pada sumbu x dan y, dan sebuah garis miring. Berdasarkan label pada sumbu, titik potong pada sumbu y adalah 4, dan titik potong pada sumbu x adalah 4. Jadi, garis yang menghubungkan kedua titik ini adalah \(x+y=4\).

Dengan mempertimbangkan label \(6\) dan \(4\) di sumbu y, dan \(4\) di sumbu x, serta daerah yang diarsir, daerah layak yang mungkin adalah:

*   Dibatasi oleh \(x=0\), \(y=0\), dan garis \(x+y=4\).
*   Atau dibatasi oleh \(x=0\), \(y=4\), dan garis \(x+y=4\), dan \(y=0\) (jika \(y=4\) adalah batas atas).

Jika kita mengasumsikan daerah yang diarsir adalah segitiga yang dibentuk oleh sumbu x, sumbu y, dan garis \(x+y=4\), maka titik sudutnya adalah:

*   (0, 0)
*   (4, 0)
*   (0, 4)

Sekarang kita evaluasi \(f(x,y) = 5x + 10y\) pada titik-titik sudut ini:

*   Di (0, 0): \(f(0,0) = 5(0) + 10(0) = 0\).
*   Di (4, 0): \(f(4,0) = 5(4) + 10(0) = 20\).
*   Di (0, 4): \(f(0,4) = 5(0) + 10(4) = 40\).

Nilai maksimum adalah 40.

Namun, jika kita mempertimbangkan label \(6\) di sumbu y, ini bisa berarti batas atas lain yang relevan. Jika daerah yang diarsir adalah poligon yang dibentuk oleh \(x=0\), \(y=0\), \(x=4\), dan \(y=6\), dan dibatasi oleh garis \(x+y=4\) atau garis lain.

Berdasarkan gambar yang disediakan (meskipun hanya deskripsi teks), jika daerah yang diarsir adalah segitiga yang dibentuk oleh sumbu x, sumbu y, dan garis yang menghubungkan (4,0) dan (0,4), maka titik-titik sudutnya adalah (0,0), (4,0), dan (0,4). Nilai maksimumnya adalah 40.

Jika daerah yang diarsir melibatkan batas \(y=6\) atau \(x=4\) dalam cara yang berbeda, kita perlu klarifikasi lebih lanjut mengenai daerah tersebut.

Asumsi yang paling masuk akal dari deskripsi \"Y X 6 4 0 4\" adalah bahwa sumbu y memiliki tanda 4 dan 6, dan sumbu x memiliki tanda 4. Dan ada garis yang melalui (4,0) dan (0,4).

Jika daerahnya adalah segitiga yang dibentuk oleh \(x=0\), \(y=0\), dan \(x+y=4\), maka nilai maksimumnya adalah 40.

Jika daerahnya adalah persegi panjang yang dibatasi oleh \(x=0\), \(x=4\), \(y=0\), \(y=6\), dan kita perlu menemukan nilai maksimum \(5x+10y\) di dalamnya, maka nilai maksimum akan terjadi di \(x=4, y=6\), yaitu \(5(4)+10(6) = 20+60 = 80\).

Namun, ungkapan \"daerah yang diarsir\" biasanya mengacu pada daerah yang dibatasi oleh beberapa garis, termasuk garis \(x+y=4\) yang dibentuk oleh titik (4,0) dan (0,4).

Jika daerah yang diarsir adalah segitiga yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=0\) dan \(x+y=4\), maka titik-titik sudutnya adalah (0,0), (4,0), (0,4). Nilai maksimumnya adalah 40.

Jika daerah yang diarsir adalah trapesium yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=4\), \(y=6\) (atau batas atas y), dan garis \(x+y=4\), ini tidak masuk akal karena \(y=4\) sudah merupakan batas pada garis \(x+y=4\) ketika \(x=0\).

Mari kita asumsikan daerah yang diarsir adalah segitiga yang dibentuk oleh \(x=0\), \(y=0\) dan garis \(x+y=4\).

Titik sudut:
(0,0) -> f = 0
(4,0) -> f = 5(4) + 10(0) = 20
(0,4) -> f = 5(0) + 10(4) = 40

Nilai maksimum adalah 40.

Jika label \(6\) pada sumbu y menyiratkan batas atas yang berbeda, misalnya, jika daerahnya dibatasi oleh \(x=0\), \(y=0\), \(x=4\), dan \(y=6\), dan juga oleh garis \(x+y=4\).

Dalam kasus program linier, kita mencari nilai ekstrem pada titik sudut daerah layak. Jika daerah layak adalah segitiga dengan titik sudut (0,0), (4,0), (0,4), maka nilai maksimumnya adalah 40.

Jika daerahnya adalah segitiga yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=4\), dan \(x+y=4\), maka titik sudutnya adalah (0,4). Ini tidak membentuk daerah.

Jika daerahnya adalah segitiga yang dibatasi oleh \(y=0\), \(x=4\), dan \(x+y=4\), maka titik sudutnya adalah (4,0). Ini juga tidak membentuk daerah.

Dengan mempertimbangkan label \(6\) di sumbu y, dan \(4\) di sumbu x dan y untuk garis \(x+y=4\), mungkin daerahnya adalah:

*   Dibatasi oleh \(x=0\), \(y=0\), \(x=4\), \(y=6\).
*   Dan juga ada batasan lain yang tidak jelas dari deskripsi gambar.

Jika kita hanya mempertimbangkan garis \(x+y=4\) dan sumbu koordinat positif, maka titik sudutnya adalah (0,0), (4,0), (0,4). Nilai maksimum \(f(x,y)=5x+10y\) adalah 40 di (0,4).

Jika label \(6\) berarti ada daerah tambahan, misalnya daerah yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=4\), \(y=6\) dan suatu garis lain. Namun, ini tidak konsisten dengan garis \(x+y=4\) yang jelas melalui (4,0) dan (0,4).

Asumsi yang paling masuk akal adalah daerah layak adalah segitiga yang dibentuk oleh \(x=0\), \(y=0\), dan \(x+y=4\).

Titik sudut:
(0,0): \(f = 0\)
(4,0): \(f = 5(4) = 20\)
(0,4): \(f = 10(4) = 40\)

Nilai maksimum adalah 40.

Jika kita mempertimbangkan kemungkinan lain dari label \(Y X 6 4 0 4\) adalah titik-titik koordinat yang relevan, misalnya \((0,0), (4,0), (0,4)\) dan mungkin \((0,6)\) atau \((4,6)\) jika itu adalah batas persegi panjang.

Jika daerahnya adalah persegi panjang \(0 \le x \le 4\) dan \(0 \le y \le 6\), maka nilai maksimum \(5x+10y\) terjadi di \(x=4, y=6\), yaitu \(5(4) + 10(6) = 20 + 60 = 80\).

Namun, adanya garis \(x+y=4\) yang diimplikasikan oleh titik potong (4,0) dan (0,4) sangat penting.

Jika daerah layak adalah daerah yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=0\), dan \(x+y=4\), maka nilai maksimumnya adalah 40.

Jika daerah layak juga dibatasi oleh \(y 
less 6\) dan \(x 
less 4\), ini tidak mengubah titik sudut (0,4) sebagai titik maksimum.

Jika daerahnya adalah trapesium yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=0\), \(x=4\), dan \(x+y=4\), maka titik sudutnya adalah (0,0), (4,0). Ini tidak membentuk daerah tertutup.

Jika daerahnya adalah trapesium yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=4\), \(y=0\), dan \(x+y=4\), ini hanya menghasilkan segitiga (0,0), (4,0), (0,4).

Jika daerahnya adalah trapesium yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=4\), \(y=6\) dan \(x+y=4\), ini tidak mungkin karena \(y=4\) dan \(y=6\) adalah garis paralel.

Kemungkinan besar, daerah yang diarsir adalah segitiga yang dibatasi oleh \(x=0\), \(y=0\), dan \(x+y=4\). Dalam kasus ini, nilai maksimum \(f(x,y) = 5x+10y\) adalah 40, yang dicapai pada titik (0,4).