Nilai maksimum fungsi z=5x+7y yang pertidaksamaan memenuhi

30

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum fungsi z = 5x + 7y yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
1) 2x + 3y ≤ 12
2) x + 2y ≤ 8
3) x ≥ 0
4) y ≥ 0
Langkah pertama adalah mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Titik pojok didapatkan dari perpotongan garis-garis batas.
Perpotongan sumbu y (x=0) untuk garis 1: 3y = 12 => y = 4. Titik (0, 4).
Perpotongan sumbu x (y=0) untuk garis 1: 2x = 12 => x = 6. Titik (6, 0).
Perpotongan sumbu y (x=0) untuk garis 2: 2y = 8 => y = 4. Titik (0, 4).
Perpotongan sumbu x (y=0) untuk garis 2: x = 8. Titik (8, 0).
Sekarang kita cari perpotongan antara garis 1 dan garis 2:
2x + 3y = 12
x + 2y = 8  (kalikan 2)
2x + 4y = 16
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan yang sudah dikalikan:
(2x + 4y) - (2x + 3y) = 16 - 12
y = 4
Substitusikan y = 4 ke x + 2y = 8:
x + 2(4) = 8
x + 8 = 8
x = 0
Titik perpotongannya adalah (0, 4).
Perpotongan antara garis 2 dan sumbu x (y=0):
x = 8. Titik (8, 0).
Namun, kita harus memeriksa apakah titik-titik ini memenuhi semua pertidaksamaan.
Titik (0, 4):
1) 2(0) + 3(4) = 12 <= 12 (Memenuhi)
2) 0 + 2(4) = 8 <= 8 (Memenuhi)
3) 0 >= 0 (Memenuhi)
4) 4 >= 0 (Memenuhi)
Titik (6, 0):
1) 2(6) + 3(0) = 12 <= 12 (Memenuhi)
2) 6 + 2(0) = 6 <= 8 (Memenuhi)
3) 6 >= 0 (Memenuhi)
4) 0 >= 0 (Memenuhi)
Titik (8, 0):
1) 2(8) + 3(0) = 16 > 12 (Tidak memenuhi)
Jadi, titik pojok yang valid adalah (0, 4) dan (6, 0).
Kita perlu mencari perpotongan garis 2 dengan sumbu x, yaitu titik (8,0). Namun, titik ini tidak memenuhi pertidaksamaan 2x+3y<=12. Kita perlu mencari perpotongan garis 1 dengan sumbu x, yaitu titik (6,0). Titik ini memenuhi kedua pertidaksamaan. Kita juga perlu mencari perpotongan garis 2 dengan sumbu y, yaitu titik (0,4). Titik ini memenuhi kedua pertidaksamaan.
Titik pojok yang mungkin adalah (0,0), (6,0), dan (0,4).
Mari kita uji nilai z di titik-titik pojok:
Di (0, 0): z = 5(0) + 7(0) = 0
Di (6, 0): z = 5(6) + 7(0) = 30
Di (0, 4): z = 5(0) + 7(4) = 28
Nilai maksimum fungsi z = 5x + 7y adalah 30.