Nilai minimum dari f(x)=(9x^2 sin^2 x+4)/(xsinx) adalah...

12

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari f(x) = (9x^2 sin^2 x + 4) / (x sin x), kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut.
Misalkan y = x sin x.
Maka, f(x) = (9y^2 + 4) / y.
Kita bisa menulis ulang f(x) sebagai f(x) = 9y + 4/y.
Untuk mencari nilai minimum, kita gunakan turunan pertama dan setel sama dengan nol.
f'(x) = d/dx (9y + 4/y)
Menggunakan aturan rantai, f'(x) = (df/dy) * (dy/dx).
Pertama, df/dy = 9 - 4/y^2.
Kedua, dy/dx = d/dx (x sin x) = 1*sin x + x*cos x = sin x + x cos x.
Jadi, f'(x) = (9 - 4/y^2) * (sin x + x cos x).
Untuk mencari nilai minimum, kita setel f'(x) = 0.
Ini berarti salah satu dari faktornya harus nol:
1) 9 - 4/y^2 = 0  => 9 = 4/y^2 => y^2 = 4/9 => y = ±2/3
2) sin x + x cos x = 0 => tan x = -x
Kita perlu memeriksa kedua kasus tersebut. Mari kita fokus pada kasus pertama karena lebih mudah dianalisis untuk nilai minimum.
Jika y = x sin x = 2/3, maka f(x) = 9(2/3) + 4/(2/3) = 6 + 4*(3/2) = 6 + 6 = 12.
Jika y = x sin x = -2/3, maka f(x) = 9(-2/3) + 4/(-2/3) = -6 + 4*(-3/2) = -6 - 6 = -12.
Untuk menentukan nilai minimum yang sebenarnya, kita perlu mempertimbangkan domain x dan nilai kritis dari turunan kedua, atau menganalisis perilaku fungsi. Namun, jika kita mengasumsikan ada nilai minimum yang dicapai, nilai 12 adalah kandidat yang mungkin berdasarkan penyederhanaan.
Lebih lanjut, menggunakan AM-GM inequality pada 9y + 4/y (untuk y > 0), kita punya (9y + 4/y)/2 >= sqrt(9y * 4/y) = sqrt(36) = 6. Jadi, 9y + 4/y >= 12. Kesamaan terjadi ketika 9y = 4/y, yaitu y^2 = 4/9 atau y = 2/3. 
Jadi, nilai minimumnya adalah 12.