Nilai minimum dari f(x, y)=-2x-5y terhadap kendala 2x-y>=-4

-20/3

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = -2x - 5y dengan kendala yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibentuk oleh pertidaksamaan linear tersebut. Kendala yang diberikan adalah:
1. 2x - y ≥ -4
2. 2x + 3y ≤ 4
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Kita cari titik potong dari garis-garis pembatas:

a. Titik potong sumbu y dari 2x - y = -4 (x=0):
   2(0) - y = -4 => -y = -4 => y = 4. Titik (0, 4)

b. Titik potong sumbu x dari 2x - y = -4 (y=0):
   2x - 0 = -4 => 2x = -4 => x = -2. Titik (-2, 0)

c. Titik potong sumbu y dari 2x + 3y = 4 (x=0):
   2(0) + 3y = 4 => 3y = 4 => y = 4/3. Titik (0, 4/3)

d. Titik potong sumbu x dari 2x + 3y = 4 (y=0):
   2x + 3(0) = 4 => 2x = 4 => x = 2. Titik (2, 0)

e. Titik potong antara 2x - y = -4 dan 2x + 3y = 4:
   Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:
   (2x + 3y) - (2x - y) = 4 - (-4)
   2x + 3y - 2x + y = 4 + 4
   4y = 8
   y = 2

   Substitusikan y = 2 ke salah satu persamaan, misal 2x - y = -4:
   2x - 2 = -4
   2x = -4 + 2
   2x = -2
   x = -1
   Titik potong (-1, 2)

Karena kendala menyertakan x ≥ 0 dan y ≥ 0, maka daerah penyelesaian berada di kuadran I. Kita perlu mencari titik potong yang relevan di kuadran I. 

Titik-titik pojok yang mungkin adalah perpotongan garis dengan sumbu x dan y, serta perpotongan antar garis yang berada di kuadran I.

Perhatikan kendala 2x - y ≥ -4. Jika kita ambil titik (0,0), maka 2(0) - 0 = 0 ≥ -4 (benar). Jadi daerah penyelesaian berada di bawah garis 2x - y = -4.
Perhatikan kendala 2x + 3y ≤ 4. Jika kita ambil titik (0,0), maka 2(0) + 3(0) = 0 ≤ 4 (benar). Jadi daerah penyelesaian berada di bawah garis 2x + 3y = 4.

Karena x ≥ 0 dan y ≥ 0, maka titik-titik pojok yang relevan adalah:

*   Titik potong sumbu y dari 2x + 3y = 4 dengan x ≥ 0, y ≥ 0: (0, 4/3)
*   Titik potong sumbu x dari 2x + 3y = 4 dengan x ≥ 0, y ≥ 0: (2, 0)
*   Titik potong sumbu y dari 2x - y = -4 dengan x ≥ 0, y ≥ 0: (0, 4). Namun, titik ini tidak memenuhi 2x+3y ≤ 4 (karena 2(0)+3(4)=12 > 4). Jadi titik (0,4) bukan titik pojok daerah penyelesaian.
*   Titik potong sumbu x dari 2x - y = -4 dengan x ≥ 0, y ≥ 0: (-2,0). Titik ini tidak berada di kuadran I.

Periksa kembali titik pojok:
Titik (0, 4/3) terletak pada garis 2x+3y=4 dan sumbu y (x=0). Cek kendala lain: 2(0) - 4/3 = -4/3 ≥ -4 (benar).
Titik (2, 0) terletak pada garis 2x+3y=4 dan sumbu x (y=0). Cek kendala lain: 2(2) - 0 = 4 ≥ -4 (benar).

Ada kemungkinan titik potong dari 2x-y=-4 dan 2x+3y=4 menjadi titik pojok jika berada di kuadran I. Ternyata titik potongnya adalah (-1, 2), yang tidak berada di kuadran I.

Periksa kembali definisi daerah penyelesaian. Daerah yang memenuhi adalah: di kanan sumbu y, di atas sumbu x, di bawah garis 2x+3y=4, dan di bawah garis 2x-y=-4 (atau di atas garis y = 2x+4).

Titik-titik pojok yang valid adalah:
1.  Titik asal (0,0), karena memenuhi semua kendala:
    2(0) - 0 = 0 ≥ -4 (Benar)
    2(0) + 3(0) = 0 ≤ 4 (Benar)
    x=0 ≥ 0 (Benar)
    y=0 ≥ 0 (Benar)

2.  Titik potong sumbu y dari 2x + 3y = 4 (dengan x=0):
    (0, 4/3). Titik ini memenuhi semua kendala.

3.  Titik potong sumbu x dari 2x + 3y = 4 (dengan y=0):
    (2, 0). Titik ini memenuhi semua kendala.

Sekarang kita evaluasi fungsi objektif f(x, y) = -2x - 5y pada titik-titik pojok ini:

*   Pada titik (0, 0):
    f(0, 0) = -2(0) - 5(0) = 0

*   Pada titik (0, 4/3):
    f(0, 4/3) = -2(0) - 5(4/3) = -20/3 ≈ -6.67

*   Pada titik (2, 0):
    f(2, 0) = -2(2) - 5(0) = -4

Nilai minimum dari f(x, y) adalah -20/3.