Nilai minimum dari persamaan f=4x-5y terhadap kendala

Nilai minimumnya adalah -75.5.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari persamaan f = 4x - 5y terhadap kendala yang diberikan, kita perlu menggunakan metode program linier, yaitu metode sudut.

Kendala yang diberikan adalah:
1. 2y - 7x ≤ 14
2. 8x + 8y ≥ 16 (dapat disederhanakan menjadi x + y ≥ 2)
3. x ≤ 3
4. x ≥ 0
5. y ≥ 0

Langkah-langkah penyelesaian:

1.  **Menggambar daerah kendala:**
    Kita perlu menggambar garis-garis yang sesuai dengan persamaan dari setiap kendala dan menentukan daerah yang memenuhi semua ketidaksetaraan.
    *   Garis 1: 2y - 7x = 14. Titik potong sumbu x (y=0): -7x = 14 -> x = -2. Titik potong sumbu y (x=0): 2y = 14 -> y = 7. Jadi, titiknya (-2, 0) dan (0, 7).
    *   Garis 2: x + y = 2. Titik potong sumbu x (y=0): x = 2. Titik potong sumbu y (x=0): y = 2. Jadi, titiknya (2, 0) dan (0, 2).
    *   Garis 3: x = 3. Ini adalah garis vertikal.
    *   Kendala x ≥ 0 dan y ≥ 0 berarti kita berada di kuadran pertama.

    Setelah menggambar garis-garis ini dan menguji titik (misalnya (0,0)) untuk menentukan daerah yang diarsir, kita akan menemukan daerah layak (feasible region) yang dibatasi oleh titik-titik sudut.

2.  **Menentukan titik-titik sudut daerah layak:**
    Titik-titik sudut adalah perpotongan dari garis-garis batas kendala.
    *   Titik A: Perpotongan x=0 dan x+y=2 -> (0, 2).
    *   Titik B: Perpotongan x+y=2 dan 2y-7x=14.
        Dari x+y=2, y = 2-x.
        Substitusikan ke 2y-7x=14:
        2(2-x) - 7x = 14
        4 - 2x - 7x = 14
        4 - 9x = 14
        -9x = 10
        x = -10/9. Nilai x negatif, jadi perpotongan ini tidak berada di daerah layak (kuadran pertama).

    Mari kita periksa kembali perpotongan garis.
    *   Titik A: Perpotongan x=0 dan x+y=2 -> (0, 2).
    *   Titik B: Perpotongan x+y=2 dan 2y-7x=14. Ini tidak relevan karena x=-10/9.
    *   Titik C: Perpotongan 2y-7x=14 dan x=3.
        2y - 7(3) = 14
        2y - 21 = 14
        2y = 35
        y = 35/2 = 17.5. Jadi, titik C (3, 17.5).
    *   Titik D: Perpotongan x=3 dan y=0 -> (3, 0).
    *   Titik E: Perpotongan x+y=2 dan y=0 -> (2, 0).

    Daerah layak dibatasi oleh titik-titik sudut berikut:
    *   (0, 2) (dari x=0 dan x+y=2)
    *   (2, 0) (dari y=0 dan x+y=2)
    *   (3, 0) (dari y=0 dan x=3)
    *   (3, 17.5) (dari x=3 dan 2y-7x=14)

    Namun, kita perlu memeriksa apakah titik (3, 17.5) memenuhi kendala x+y>=2. 3 + 17.5 = 20.5 >= 2 (memenuhi).
    Kita juga perlu memeriksa apakah titik (0, 2) memenuhi kendala 2y-7x<=14. 2(2)-7(0) = 4 <= 14 (memenuhi).

    Titik-titik sudut yang relevan adalah:
    *   P1: (0, 2) 
    *   P2: (2, 0)
    *   P3: (3, 0)
    *   P4: (3, 17.5)

3.  **Menghitung nilai f = 4x - 5y di setiap titik sudut:**
    *   Di P1 (0, 2): f = 4(0) - 5(2) = 0 - 10 = -10
    *   Di P2 (2, 0): f = 4(2) - 5(0) = 8 - 0 = 8
    *   Di P3 (3, 0): f = 4(3) - 5(0) = 12 - 0 = 12
    *   Di P4 (3, 17.5): f = 4(3) - 5(17.5) = 12 - 87.5 = -75.5

4.  **Menentukan nilai minimum:**
    Nilai minimum dari f adalah -75.5 yang terjadi di titik (3, 17.5).