Nilai minimum fungsi objektif x+3y yang memenuhi

Nilai minimumnya adalah 8.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum fungsi objektif x + 3y yang memenuhi pertidaksamaan yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik sudut (vertex) dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut dan kemudian mensubstitusikan nilai x dan y dari titik-titik sudut tersebut ke dalam fungsi objektif.

Pertidaksamaan yang diberikan adalah:
1. 3x + 2y >= 12
2. x + 2y >= 8
3. x + y <= 8
4. x >= 0

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Gambarkan garis dari setiap pertidaksamaan.
   - 3x + 2y = 12 (memotong sumbu x di 4, sumbu y di 6)
   - x + 2y = 8 (memotong sumbu x di 8, sumbu y di 4)
   - x + y = 8 (memotong sumbu x di 8, sumbu y di 8)
   - x = 0 (sumbu y)

2. Tentukan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan. Daerah ini adalah daerah yang dibatasi oleh garis-garis tersebut dan berada di atas atau di bawah garis sesuai dengan tanda pertidaksamaan.

3. Cari titik-titik potong antara garis-garis yang membentuk daerah yang layak.
   - Titik potong antara x + 2y = 8 dan x + y = 8:
     (x + 2y) - (x + y) = 8 - 8 => y = 0. Maka x = 8. Titik: (8, 0)
   - Titik potong antara 3x + 2y = 12 dan x + 2y = 8:
     (3x + 2y) - (x + 2y) = 12 - 8 => 2x = 4 => x = 2. Maka 2 + 2y = 8 => 2y = 6 => y = 3. Titik: (2, 3)
   - Titik potong antara 3x + 2y = 12 dan x + y = 8:
     Dari x + y = 8, maka y = 8 - x. Substitusikan ke 3x + 2y = 12:
     3x + 2(8 - x) = 12
     3x + 16 - 2x = 12
     x = 12 - 16
     x = -4. Karena x >= 0, titik ini tidak termasuk dalam daerah yang layak.
   - Titik potong antara x = 0 dan x + 2y = 8:
     0 + 2y = 8 => y = 4. Titik: (0, 4)
   - Titik potong antara x = 0 dan x + y = 8:
     0 + y = 8 => y = 8. Titik: (0, 8)
   - Titik potong antara x = 0 dan 3x + 2y = 12:
     3(0) + 2y = 12 => y = 6. Titik: (0, 6)

4. Titik-titik sudut yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah (8, 0), (2, 3), dan (0, 4). Kita perlu memastikan (0,8) dan (0,6) tidak termasuk dalam daerah yang layak.
   - Periksa (0,8) terhadap 3x+2y>=12: 3(0)+2(8)=16>=12 (Benar), x+2y>=8: 0+2(8)=16>=8 (Benar), x+y<=8: 0+8<=8 (Benar). Titik (0,8) memenuhi semua. Tapi jika kita perhatikan batasnya, maka titik (0,4) dan (0,6) akan menjadi batas atas pada sumbu y jika x=0.
   - Periksa (0,6) terhadap x+2y>=8: 0+2(6)=12>=8 (Benar), x+y<=8: 0+6<=8 (Benar). Titik (0,6) juga memenuhi.

Mari kita identifikasi ulang titik-titik sudut yang membentuk daerah layak:

Titik A: Irisan dari x + 2y = 8 dan 3x + 2y = 12.
   x = 2, y = 3. Titik: (2, 3)

Titik B: Irisan dari x + 2y = 8 dan x + y = 8.
   x = 8, y = 0. Titik: (8, 0)

Titik C: Irisan dari x = 0 dan x + 2y = 8.
   x = 0, y = 4. Titik: (0, 4)

Titik D: Irisan dari x = 0 dan 3x + 2y = 12.
   x = 0, y = 6. Titik: (0, 6)

Titik E: Irisan dari x = 0 dan x + y = 8
   x = 0, y = 8. Titik: (0, 8)

Sekarang kita perlu mengecek pertidaksamaan mana yang membentuk batas.
Daerah yang memenuhi:
3x + 2y >= 12 (di atas garis)
x + 2y >= 8 (di atas garis)
x + y <= 8 (di bawah garis)
x >= 0 (di kanan sumbu y)

Titik-titik sudut yang mungkin adalah (2,3), (8,0), dan irisan dengan sumbu y yang memenuhi semua syarat.

Cek titik (0,4) (dari x+2y=8 dan x=0):
3(0)+2(4)=8 (TIDAK MEMENUHI 3x+2y>=12)
Jadi (0,4) bukan titik sudut.

Cek titik (0,6) (dari 3x+2y=12 dan x=0):
0+2(6)=12 >= 8 (Memenuhi)
0+6<=8 (Memenuhi)
Jadi (0,6) adalah titik sudut.

Cek titik (0,8) (dari x+y=8 dan x=0):
3(0)+2(8)=16 >= 12 (Memenuhi)
0+2(8)=16 >= 8 (Memenuhi)
Jadi (0,8) adalah titik sudut.

Titik-titik sudut daerah layak adalah (2, 3), (8, 0), (0, 6), dan (0, 8).
Namun, kita perlu melihat lagi bahwa x+y <= 8 membatasi daerah ke bawah, sehingga titik (0,8) mungkin tidak menjadi titik minimum jika ada titik lain yang lebih rendah.

Mari kita evaluasi fungsi objektif f(x, y) = x + 3y pada titik-titik sudut yang valid:

1. Titik (2, 3):
   f(2, 3) = 2 + 3(3) = 2 + 9 = 11

2. Titik (8, 0):
   f(8, 0) = 8 + 3(0) = 8 + 0 = 8

3. Titik (0, 6):
   f(0, 6) = 0 + 3(6) = 0 + 18 = 18

4. Titik (0, 8) (Periksa apakah memenuhi semua pertidaksamaan):
   3x+2y >= 12 -> 3(0)+2(8) = 16 >= 12 (OK)
   x+2y >= 8  -> 0+2(8) = 16 >= 8 (OK)
   x+y <= 8  -> 0+8 <= 8 (OK)
   x >= 0  -> 0 >= 0 (OK)
   f(0, 8) = 0 + 3(8) = 24

Membandingkan nilai-nilai fungsi objektif: 11, 8, 18, 24.
Nilai minimumnya adalah 8, yang terjadi pada titik (8, 0).