Nilai tan 105=...

tan 105° = -2 - √3

Pembahasan

Untuk mencari nilai tan 105°, kita bisa menggunakan identitas trigonometri.
Kita bisa menulis 105° sebagai jumlah dari dua sudut yang nilainya sudah diketahui, misalnya 60° + 45°.
Maka, tan 105° = tan (60° + 45°).
Gunakan rumus penjumlahan tangen: tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).
Dengan A = 60° dan B = 45°:
tan 60° = √3
tan 45° = 1
Maka, tan 105° = (tan 60° + tan 45°) / (1 - tan 60° tan 45°)
tan 105° = (√3 + 1) / (1 - √3 * 1)
tan 105° = (√3 + 1) / (1 - √3)
Untuk menyederhanakan, kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut (1 + √3):
tan 105° = [(√3 + 1) * (1 + √3)] / [(1 - √3) * (1 + √3)]
tan 105° = (√3 + 3 + 1 + √3) / (1 - 3)
tan 105° = (4 + 2√3) / (-2)
tan 105° = -2 - √3.
Cara lain: tan 105° = tan (180° - 75°) = -tan 75°.
tan 75° = tan (45° + 30°) = (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° tan 30°) = (1 + 1/√3) / (1 - 1*1/√3) = ((√3+1)/√3) / ((√3-1)/√3) = (√3+1)/(√3-1).
Kalikan dengan konjugat: [(√3+1)(√3+1)] / [(√3-1)(√3+1)] = (3 + 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3.
Maka, tan 105° = -tan 75° = -(2 + √3) = -2 - √3.