Nilai tangen sudut MON dari titik M(1,2,-2) dan N(-4,4,-7)

Nilai tangen sudut MON adalah $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai tangen sudut MON dari titik M(1,2,-2) dan N(-4,4,-7), kita perlu menggunakan konsep vektor.

Langkah 1: Tentukan vektor OM dan ON.
Vektor OM = M - O = (1, 2, -2) (dengan asumsi O adalah titik asal (0,0,0))
Vektor ON = N - O = (-4, 4, -7)

Langkah 2: Hitung dot product (hasil kali titik) dari vektor OM dan ON.
OM · ON = (1)(-4) + (2)(4) + (-2)(-7)
OM · ON = -4 + 8 + 14
OM · ON = 18

Langkah 3: Hitung magnitudo (panjang) dari vektor OM dan ON.
|OM| = $\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
|ON| = $\sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$

Langkah 4: Gunakan rumus dot product untuk mencari kosinus sudut antara dua vektor.
OM · ON = |OM| |ON| cos($\theta$)
18 = (3)(9) cos($\theta$)
18 = 27 cos($\theta$)
cos($\theta$) = $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

Langkah 5: Cari nilai tangen dari sudut tersebut menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.
$\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
$\sin(\theta) = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (Kita ambil nilai positif karena sudut dalam segitiga biasanya diukur antara 0 dan 180 derajat, di mana sinus positif).

Sekarang kita bisa mencari tangen:
tan($\theta$) = $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Jadi, nilai tangen sudut MON adalah $\frac{\sqrt{5}}{2}$ atau $\frac{1}{2}\sqrt{5}$.