Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathTrigonometri

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 akar(3) cos^2 x-2 sin x

Pertanyaan

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 akar(3) cos^2 x-2 sin x cos x-1-akar(3)=0, untuk 0<=x<=360 adalah ...

Solusi

Verified

x = 15°, 135°, 195°, 315°

Pembahasan

Untuk mencari nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos^2 x - 2 sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360°. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan persamaan. Ingat bahwa cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 dan sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Susun ulang persamaan: (2√3 cos^2 x - √3) - (2 sin x cos x) - 1 = 0 √3 (2 cos^2 x - 1) - 2 sin x cos x - 1 = 0 Substitusikan identitas: √3 cos(2x) - sin(2x) - 1 = 0 √3 cos(2x) - sin(2x) = 1 Untuk menyelesaikan bentuk a cos(θ) + b sin(θ) = c, kita bisa mengubahnya menjadi R cos(θ + α) atau R sin(θ + α). Di sini, a = √3 dan b = -1. R = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt((√3)^2 + (-1)^2) = sqrt(3 + 1) = sqrt(4) = 2. Untuk R cos(2x + α) = R(cos(2x)cos(α) - sin(2x)sin(α)). Kita cocokkan koefisien: R cos(α) = √3 => 2 cos(α) = √3 => cos(α) = √3/2 R sin(α) = 1 => 2 sin(α) = 1 => sin(α) = 1/2 Dari nilai sin dan cos, kita dapatkan α = 30° atau π/6. Jadi, persamaan menjadi: 2 cos(2x + 30°) = 1 cos(2x + 30°) = 1/2 Kita cari nilai sudut yang cos-nya adalah 1/2. Sudut referensinya adalah 60°. Karena cos positif di kuadran I dan IV: Kasus 1: 2x + 30° = 60° + k * 360° 2x = 30° + k * 360° x = 15° + k * 180° Jika k=0, x = 15° Jika k=1, x = 15° + 180° = 195° Kasus 2: 2x + 30° = -60° + k * 360° 2x = -90° + k * 360° x = -45° + k * 180° Jika k=1, x = -45° + 180° = 135° Jika k=2, x = -45° + 360° = 315° Semua nilai x berada dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 15°, 135°, 195°, dan 315°.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Trigonometri
Section: Persamaan Trigonometri Bentuk R Cos X A

Apakah jawaban ini membantu?