Nilai x yang memenuhi persamaan |x-3|+|2x|-|2x+1|=15

-11 atau 19

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak |x-3|+|2x|-|2x+1|=15, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan nilai-nilai x yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol. Nilai-nilai tersebut adalah x=3 (dari |x-3|=0), x=0 (dari |2x|=0), dan x=-1/2 (dari |2x+1|=0). Kita akan membagi garis bilangan menjadi beberapa interval: Interval 1: x < -1/2. Dalam interval ini: |x-3| = -(x-3) = 3-x (karena x-3 negatif). |2x| = -2x (karena 2x negatif). |2x+1| = -(2x+1) = -2x-1 (karena 2x+1 negatif). Persamaan menjadi: (3-x) + (-2x) - (-2x-1) = 15. 3 - x - 2x + 2x + 1 = 15. 4 - x = 15. -x = 11. x = -11. Interval 2: -1/2 <= x < 0. Dalam interval ini: |x-3| = -(x-3) = 3-x. |2x| = -2x. |2x+1| = 2x+1 (karena 2x+1 positif). Persamaan menjadi: (3-x) + (-2x) - (2x+1) = 15. 3 - x - 2x - 2x - 1 = 15. 2 - 5x = 15. -5x = 13. x = -13/5. Interval 3: 0 <= x < 3. Dalam interval ini: |x-3| = -(x-3) = 3-x. |2x| = 2x. |2x+1| = 2x+1. Persamaan menjadi: (3-x) + (2x) - (2x+1) = 15. 3 - x + 2x - 2x - 1 = 15. 2 - x = 15. -x = 13. x = -13. Interval 4: x >= 3. Dalam interval ini: |x-3| = x-3. |2x| = 2x. |2x+1| = 2x+1. Persamaan menjadi: (x-3) + (2x) - (2x+1) = 15. x - 3 + 2x - 2x - 1 = 15. x - 4 = 15. x = 19. Sekarang kita periksa apakah solusi yang didapat berada dalam interval yang sesuai: x = -11 tidak berada dalam interval x < -1/2. x = -13/5 = -2.6 tidak berada dalam interval -1/2 <= x < 0. x = -13 tidak berada dalam interval 0 <= x < 3. x = 19 berada dalam interval x >= 3. Mari kita cek kembali perhitungan pada interval 1 dan 2. Interval 1: x < -1/2. |x-3| = -(x-3), |2x| = -2x, |2x+1| = -(2x+1). (3-x) - 2x - (-2x-1) = 15 => 3-x-2x+2x+1 = 15 => 4-x=15 => x=-11. Solusi ini valid karena -11 < -1/2. Interval 2: -1/2 <= x < 0. |x-3| = -(x-3), |2x| = -2x, |2x+1| = 2x+1. (3-x) - 2x - (2x+1) = 15 => 3-x-2x-2x-1 = 15 => 2-5x=15 => -5x=13 => x=-13/5. Solusi ini valid karena -13/5 = -2.6 tidak berada dalam interval -1/2 <= x < 0. Ada kesalahan dalam pemahaman tanda nilai mutlak untuk beberapa interval atau dalam perhitungan. Mari kita perbaiki. Titik kritis: x = -1/2, x = 0, x = 3. Kasus 1: x < -1/2. -(x-3) -2x - (2x+1) = 15 => -x+3-2x-2x-1 = 15 => -5x+2 = 15 => -5x = 13 => x = -13/5. Ini valid karena -13/5 < -1/2. Kasus 2: -1/2 <= x < 0. -(x-3) -2x + (2x+1) = 15 => -x+3-2x+2x+1 = 15 => -x+4 = 15 => -x = 11 => x = -11. Ini tidak valid karena -11 bukan dalam interval [-1/2, 0). Kasus 3: 0 <= x < 3. -(x-3) + 2x + (2x+1) = 15 => -x+3+2x+2x+1 = 15 => 3x+4 = 15 => 3x = 11 => x = 11/3. Ini tidak valid karena 11/3 bukan dalam interval [0, 3). Kasus 4: x >= 3. (x-3) + 2x + (2x+1) = 15 => x-3+2x+2x+1 = 15 => 5x-2 = 15 => 5x = 17 => x = 17/5. Ini tidak valid karena 17/5 bukan dalam interval [3, inf). Mari kita cek ulang kasus 1 dan ekspresi nilai mutlak. Kasus 1: x < -1/2. |x-3| = -(x-3), |2x| = -2x, |2x+1| = -(2x+1). Persamaan: -(x-3) + (-2x) - (-(2x+1)) = 15 => -x+3-2x+2x+1 = 15 => -x+4 = 15 => -x = 11 => x = -11. Solusi ini valid karena -11 < -1/2. Kasus 2: -1/2 <= x < 0. |x-3| = -(x-3), |2x| = -2x, |2x+1| = 2x+1. Persamaan: -(x-3) + (-2x) - (2x+1) = 15 => -x+3-2x-2x-1 = 15 => -5x+2 = 15 => -5x = 13 => x = -13/5. Solusi ini valid karena -13/5 = -2.6, yang tidak dalam interval [-1/2, 0). Ada kekeliruan pada pemahaman saya terhadap soal atau opsi jawaban. Mari kita coba ulang dengan hati-hati pada setiap interval. Titik kritis: x = -1/2, x = 0, x = 3. Kasus 1: x < -1/2. |x-3| = -(x-3), |2x| = -2x, |2x+1| = -(2x+1). Persamaan: (3-x) + (-2x) - (-(2x+1)) = 15 => 3-x-2x+2x+1 = 15 => -x+4 = 15 => x = -11. Valid. Kasus 2: -1/2 <= x < 0. |x-3| = -(x-3), |2x| = -2x, |2x+1| = 2x+1. Persamaan: (3-x) + (-2x) - (2x+1) = 15 => 3-x-2x-2x-1 = 15 => -5x+2 = 15 => -5x = 13 => x = -13/5. Tidak valid karena -13/5 < -1/2. Kasus 3: 0 <= x < 3. |x-3| = -(x-3), |2x| = 2x, |2x+1| = 2x+1. Persamaan: (3-x) + 2x - (2x+1) = 15 => 3-x+2x-2x-1 = 15 => -x+2 = 15 => -x = 13 => x = -13. Tidak valid karena -13 < 0. Kasus 4: x >= 3. |x-3| = x-3, |2x| = 2x, |2x+1| = 2x+1. Persamaan: (x-3) + 2x - (2x+1) = 15 => x-3+2x-2x-1 = 15 => x-4 = 15 => x = 19. Valid. Sepertinya ada kesalahan dalam opsi atau pemahaman soal. Mari kita coba opsi jawaban yang diberikan. Opsi C: -3 atau 13. Jika x=-3: |-3-3|+|2(-3)|-|2(-3)+1| = |-6|+|-6|-|-5| = 6+6-5 = 7 != 15. Jika x=13: |13-3|+|2(13)|-|2(13)+1| = |10|+|26|-|27| = 10+26-27 = 9 != 15. Opsi D: -11 atau 19. Jika x=-11: |-11-3|+|2(-11)|-|2(-11)+1| = |-14|+|-22|-|-21| = 14+22-21 = 15. Ini benar. Jika x=19: |19-3|+|2(19)|-|2(19)+1| = |16|+|38|-|39| = 16+38-39 = 15. Ini benar. Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah -11 atau 19. Jawaban yang benar adalah D.