Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (1/2)log(x^2-4x-12) <

x > 8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma (1/2)log(x^2-4x-12) < (1/2)log(2x+4), kita perlu memperhatikan dua hal:
1. Syarat numerus (argumen logaritma) harus positif.
2. Sifat logaritma.

Syarat Numerus:

x^2 - 4x - 12 > 0
Faktorkan: (x - 6)(x + 2) > 0
Ini berarti x < -2 atau x > 6.

2x + 4 > 0
2x > -4
x > -2.

Gabungan kedua syarat numerus adalah x > 6.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Logaritma:
Karena basis logaritma (1/2) kurang dari 1, maka ketika kita menghilangkan logaritma, arah pertidaksamaannya berbalik.

(1/2)log(x^2-4x-12) < (1/2)log(2x+4)

Karena basisnya sama, kita bisa menyamakan argumennya, tetapi membalik tanda pertidaksamaan:

x^2 - 4x - 12 > 2x + 4

Pindahkan semua suku ke satu sisi:

x^2 - 4x - 2x - 12 - 4 > 0
x^2 - 6x - 16 > 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 8)(x + 2) > 0

Akar-akarnya adalah x = 8 dan x = -2.
Karena pertidaksamaan adalah '> 0', maka nilai x yang memenuhi adalah x < -2 atau x > 8.

Gabungkan dengan Syarat Numerus:
Kita memiliki dua kondisi yang harus dipenuhi:
1. Syarat numerus: x > 6
2. Hasil pertidaksamaan: x < -2 atau x > 8

Satu-satunya rentang yang memenuhi kedua kondisi tersebut adalah x > 8.

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (1/2)log(x^2-4x-12) < (1/2)log(2x+4) adalah x > 8.