Himpunan penyelesaian (1/4)^(x^2-2x-5)<(1/2)^(-6x+2) adalah

Himpunan penyelesaian: {x | x < -3 atau x > 2}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial (1/4)^(x^2-2x-5) < (1/2)^(-6x+2), kita perlu menyamakan basisnya terlebih dahulu. Kita tahu bahwa 1/4 = (1/2)^2.

Maka, pertidaksamaan menjadi:
((1/2)^2)^(x^2-2x-5) < (1/2)^(-6x+2)
(1/2)^(2(x^2-2x-5)) < (1/2)^(-6x+2)
(1/2)^(2x^2-4x-10) < (1/2)^(-6x+2)

Karena basisnya (1/2) kurang dari 1, maka arah pertidaksamaan berbalik ketika kita menyamakan eksponennya:
2x^2 - 4x - 10 > -6x + 2

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
2x^2 - 4x + 6x - 10 - 2 > 0
2x^2 + 2x - 12 > 0

Bagi kedua sisi dengan 2:
x^2 + x - 6 > 0

Faktorkan pertidaksamaan kuadrat:
(x + 3)(x - 2) > 0

Untuk menentukan himpunan penyelesaian, kita cari akar-akarnya yaitu x = -3 dan x = 2. Kita uji interval:
Jika x < -3 (misal x = -4): (-4 + 3)(-4 - 2) = (-1)(-6) = 6 > 0
Jika -3 < x < 2 (misal x = 0): (0 + 3)(0 - 2) = (3)(-2) = -6 < 0
Jika x > 2 (misal x = 3): (3 + 3)(3 - 2) = (6)(1) = 6 > 0

Karena pertidaksamaan adalah > 0, maka himpunan penyelesaiannya adalah x < -3 atau x > 2.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < -3 atau x > 2}.