Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x/((x-2)^2)>=4/x

Nilai x yang memenuhi adalah x < 0 atau \(4 - 2\sqrt{2} \le x < 2\) atau \(2 < x \le 4 + 2\sqrt{2}\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{2x}{(x-2)^2} \ge \frac{4}{x}\), kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama:

\(\frac{2x}{(x-2)^2} - \frac{4}{x} \ge 0\)

Samakan penyebutnya menjadi \(x(x-2)^2\):

\(\frac{2x \cdot x - 4 \cdot (x-2)^2}{x(x-2)^2} \ge 0\)

\(\frac{2x^2 - 4(x^2 - 4x + 4)}{x(x-2)^2} \ge 0\)

\(\frac{2x^2 - 4x^2 + 16x - 16}{x(x-2)^2} \ge 0\)

\(\frac{-2x^2 + 16x - 16}{x(x-2)^2} \ge 0\)

Bagi pembilang dan penyebut dengan -2 (dan balikkan tanda pertidaksamaan):

\(\frac{x^2 - 8x + 8}{x(x-2)^2} \le 0\)

Sekarang kita cari akar-akar dari pembilang dan penyebut.

Akar pembilang: \(x^2 - 8x + 8 = 0\)
Menggunakan rumus kuadratik \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}\) 
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2}\) 
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2}\) 
\(x = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2}\) 
\(x = 4 \pm 2\sqrt{2}\)
Jadi, akar pembilangnya adalah \(x_1 = 4 - 2\sqrt{2}\) (sekitar 1.17) dan \(x_2 = 4 + 2\sqrt{2}\) (sekitar 6.83).

Akar penyebut: \(x(x-2)^2 = 0\)
Akar-akarnya adalah \(x=0\) dan \(x=2\) (akar ganda).

Kita buat garis bilangan dengan titik-titik kritis: 0, \(4 - 2\sqrt{2}\), 2, \(4 + 2\sqrt{2}\).

Uji interval:

*   x < 0: Pilih x = -1. \(\frac{(-1)^2 - 8(-1) + 8}{-1(-1-2)^2} = \frac{1+8+8}{-1(9)} = \frac{17}{-9} < 0\) (Memenuhi)
*   0 < x < \(4 - 2\sqrt{2}\): Pilih x = 1. \(\frac{1^2 - 8(1) + 8}{1(1-2)^2} = \frac{1-8+8}{1(1)} = \frac{1}{1} > 0\) (Tidak memenuhi)
*   \(4 - 2\sqrt{2}\) < x < 2: Pilih x = 1.5. \(\frac{(1.5)^2 - 8(1.5) + 8}{1.5(1.5-2)^2} = \frac{2.25 - 12 + 8}{1.5(0.25)} = \frac{-1.75}{0.375} < 0\) (Memenuhi)
*   2 < x < \(4 + 2\sqrt{2}\): Pilih x = 3. \(\frac{3^2 - 8(3) + 8}{3(3-2)^2} = \frac{9-24+8}{3(1)} = \frac{-7}{3} < 0\) (Memenuhi)
*   x > \(4 + 2\sqrt{2}\): Pilih x = 7. \(\frac{7^2 - 8(7) + 8}{7(7-2)^2} = \frac{49-56+8}{7(25)} = \frac{1}{175} > 0\) (Tidak memenuhi)

Karena pertidaksamaan adalah \(\le 0\) dan kita tidak menyertakan penyebut yang sama dengan nol, maka interval yang memenuhi adalah \(x < 0\) atau \(4 - 2\sqrt{2} \le x < 2\) atau \(2 < x \le 4 + 2\sqrt{2}\).