Dalam suatu barisan aritmatika, perbandingan jumlah 5 suku

Nilai log ((U5)/(U10)-4.(U10)/(U5)) adalah log(7/6).

Pembahasan

Diketahui sebuah barisan aritmatika. Perbandingan jumlah 5 suku pertama (S₅) dan jumlah 10 suku pertama (S₁₀) adalah 2:3.

\(\frac{S_5}{S_{10}} = \frac{2}{3}\)

Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah \(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)\), di mana a adalah suku pertama dan b adalah beda.

\(S_5 = \frac{5}{2}(2a + 4b)\)
\(S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9b) = 5(2a + 9b)\)

Substitusikan ke dalam perbandingan:

\(\frac{\frac{5}{2}(2a + 4b)}{5(2a + 9b)} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{5(a + 2b)}{5(2a + 9b)} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{a + 2b}{2a + 9b} = \frac{2}{3}\)

3(a + 2b) = 2(2a + 9b)
3a + 6b = 4a + 18b
-a = 12b
a = -12b

Kita perlu mencari nilai \(log((\frac{U_5}{U_{10}}) - 4(\frac{U_{10}}{U_5}))\).

Rumus suku ke-n adalah \(U_n = a + (n-1)b\).

\(U_5 = a + 4b = -12b + 4b = -8b\)
\(U_{10} = a + 9b = -12b + 9b = -3b\)

Sekarang hitung \(\frac{U_5}{U_{10}}\):

\(\frac{U_5}{U_{10}} = \frac{-8b}{-3b} = \frac{8}{3}\)

Dan \(\frac{U_{10}}{U_5} = \frac{3}{8}\).

Substitusikan nilai ini ke dalam ekspresi logaritma:

\(log((\frac{8}{3}) - 4(\frac{3}{8}))\)

\(log(\frac{8}{3} - \frac{12}{8}))\)

\(log(\frac{8}{3} - \frac{3}{2}))\)

Samakan penyebutnya:

\(log(\frac{16}{6} - \frac{9}{6}))\)

\(log(\frac{7}{6}))\)

Jadi, nilai \(log((U5)/(U10)-4.(U10)/(U5))\) adalah \(log(\frac{7}{6})\).