Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan akar(x^2-x-2)<2 adalah

-2 < x ≤ -1 atau 2 ≤ x < 3

Pembahasan

Kita perlu mencari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan akar(x^2 - x - 2) < 2.

Langkah 1: Kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.
Karena kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif (akar kuadrat selalu non-negatif, dan 2 adalah positif), kita bisa mengkuadratkan kedua sisi tanpa mengubah arah pertidaksamaan.

(akar(x^2 - x - 2))^2 < 2^2
x^2 - x - 2 < 4

Langkah 2: Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat.

x^2 - x - 2 - 4 < 0
x^2 - x - 6 < 0

Langkah 3: Faktorkan pertidaksamaan kuadrat.
Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -6 dan jika dijumlahkan menghasilkan -1. Bilangan tersebut adalah -3 dan 2.

(x - 3)(x + 2) < 0

Langkah 4: Tentukan interval solusi.
Titik kritis adalah x = 3 dan x = -2. Kita perlu menguji interval (-∞, -2), (-2, 3), dan (3, ∞).

- Untuk x < -2 (misal x = -3): (-3 - 3)(-3 + 2) = (-6)(-1) = 6 > 0 (tidak memenuhi)
- Untuk -2 < x < 3 (misal x = 0): (0 - 3)(0 + 2) = (-3)(2) = -6 < 0 (memenuhi)
- Untuk x > 3 (misal x = 4): (4 - 3)(4 + 2) = (1)(6) = 6 > 0 (tidak memenuhi)

Jadi, solusi dari x^2 - x - 6 < 0 adalah -2 < x < 3.

Langkah 5: Perhatikan syarat domain akar.
Syarat agar akar terdefinisi adalah ekspresi di dalam akar harus non-negatif:
x^2 - x - 2 ≥ 0

Faktorkan pertidaksamaan kuadrat ini:
(x - 2)(x + 1) ≥ 0

Titik kritis adalah x = 2 dan x = -1. Menguji interval:
- Untuk x < -1 (misal x = -2): (-2 - 2)(-2 + 1) = (-4)(-1) = 4 ≥ 0 (memenuhi)
- Untuk -1 ≤ x ≤ 2 (misal x = 0): (0 - 2)(0 + 1) = (-2)(1) = -2 < 0 (tidak memenuhi)
- Untuk x > 2 (misal x = 3): (3 - 2)(3 + 1) = (1)(4) = 4 ≥ 0 (memenuhi)

Jadi, syarat domain adalah x ≤ -1 atau x ≥ 2.

Langkah 6: Iriskan solusi dari langkah 3 dan langkah 5.
Solusi dari x^2 - x - 6 < 0 adalah -2 < x < 3.
Syarat domain adalah x ≤ -1 atau x ≥ 2.

Irisan dari kedua kondisi tersebut adalah:
(-2 < x < 3) ∩ (x ≤ -1 atau x ≥ 2)

Ini menghasilkan dua interval:
-2 < x ≤ -1
2 ≤ x < 3

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah -2 < x ≤ -1 atau 2 ≤ x < 3.