Tentukan HP dari SPNLDV: 1/2(2x+3y)+12/7(3x-2y)=1/2 dan

SPLDV tidak memiliki solusi real karena diskriminan negatif.

Pembahasan

Untuk menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) yang diberikan dalam bentuk pecahan dan melibatkan penyebut berupa ekspresi aljabar, kita perlu melakukan beberapa langkah:

Persamaan 1: 1/2(2x+3y) + 12/7(3x-2y) = 1/2
Persamaan 2: 7/(2x+3y) + 4/(3x-2y) = 2

Langkah 1: Substitusi variabel
Misalkan A = 2x + 3y dan B = 3x - 2y.
Dengan substitusi ini, kedua persamaan menjadi lebih sederhana:

Persamaan 1 menjadi: 1/2(A) + 12/7(B) = 1/2
Untuk menghilangkan pecahan, kita kalikan seluruh persamaan dengan KPK dari penyebut 2 dan 7, yaitu 14:
14 * (1/2 A) + 14 * (12/7 B) = 14 * (1/2)
7A + 24B = 7  --- (Persamaan 3)

Persamaan 2 menjadi: 7/A + 4/B = 2
Untuk menghilangkan penyebut, kita kalikan seluruh persamaan dengan AB:
(7/A) * AB + (4/B) * AB = 2 * AB
7B + 4A = 2AB ---(Persamaan 4)

Langkah 2: Selesaikan SPLDV yang baru (Persamaan 3 dan 4)
Kita memiliki sistem persamaan:
7A + 24B = 7 ---(3)
4A + 7B = 2AB ---(4)

Dari Persamaan 3, kita bisa isolasi salah satu variabel, misalnya A:
7A = 7 - 24B
A = (7 - 24B) / 7

Substitusikan nilai A ini ke dalam Persamaan 4:
4 * [(7 - 24B) / 7] + 7B = 2 * [(7 - 24B) / 7] * B
Kalikan seluruh persamaan dengan 7 untuk menghilangkan penyebut:
4 * (7 - 24B) + 7 * 7B = 2 * (7 - 24B) * B
28 - 96B + 49B = (14 - 48B) * B
28 - 47B = 14B - 48B²
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
48B² - 47B - 14B + 28 = 0
48B² - 61B + 28 = 0

Kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat ini menggunakan rumus kuadratik: B = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 48, b = -61, c = 28.

Diskriminan (D) = b² - 4ac
D = (-61)² - 4 * 48 * 28
D = 3721 - 5376
D = -1655

Karena diskriminan negatif (D < 0), persamaan kuadrat 48B² - 61B + 28 = 0 tidak memiliki solusi real untuk B. Ini berarti ada kemungkinan kesalahan dalam penafsiran soal atau ada kesalahan ketik dalam soalnya, karena biasanya soal SPLDV yang diberikan memiliki solusi.

Mari kita periksa kembali langkah-langkahnya atau asumsi.

Kemungkinan lain adalah bahwa bentuk persamaan 4 (4A + 7B = 2AB) harus diselesaikan dengan cara lain atau ada kondisi khusus.

Asumsi lain adalah bahwa kita seharusnya menyelesaikan Persamaan 3 dan Persamaan 4 secara bersamaan, tetapi Persamaan 4 bersifat non-linear.

Mari kita coba metode eliminasi untuk Persamaan 3 dan Persamaan 4 (jika kita bisa menyederhanakan Persamaan 4 terlebih dahulu).
Namun, Persamaan 4 memiliki suku AB, yang membuatnya menjadi non-linear.

Mari kita cek jika ada nilai A dan B yang membuat penyebut (2x+3y) dan (3x-2y) menjadi nol. Jika penyebutnya nol, maka ekspresi tersebut tidak terdefinisi.

Mari kita coba menyelesaikan SPLDV awal menggunakan metode substitusi/eliminasi jika memungkinkan, tetapi ada pembagian dengan variabel.

Jika kita kembali ke persamaan awal dan mencoba manipulasi lain:

Persamaan 1: 1/2(2x+3y) + 12/7(3x-2y) = 1/2
Persamaan 2: 7/(2x+3y) + 4/(3x-2y) = 2

Misalkan P = 1/(2x+3y) dan Q = 1/(3x-2y).
Maka 2x+3y = 1/P dan 3x-2y = 1/Q.

Persamaan 1 menjadi: 1/2 (1/P) + 12/7 (1/Q) = 1/2
1/(2P) + 12/(7Q) = 1/2
Kalikan dengan 14PQ: 7Q + 24P = 7PQ ---(Persamaan 5)

Persamaan 2 menjadi: 7P + 4Q = 2 ---(Persamaan 6)

Sekarang kita punya SPLDV yang berbeda:
7P + 4Q = 2 ---(6)
24P + 7Q = 7PQ ---(5)

Dari Persamaan 6, kita bisa dapatkan:
7P = 2 - 4Q  => P = (2 - 4Q) / 7

Substitusikan P ke Persamaan 5:
24 * [(2 - 4Q) / 7] + 7Q = 7 * [(2 - 4Q) / 7] * Q
Kalikan dengan 7:
24 * (2 - 4Q) + 49Q = 7 * (2 - 4Q) * Q
48 - 96Q + 49Q = (14 - 28Q) * Q
48 - 47Q = 14Q - 28Q²
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
28Q² - 47Q - 14Q + 48 = 0
28Q² - 61Q + 48 = 0

Sekarang, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat ini: Q = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 28, b = -61, c = 48.

Diskriminan (D) = b² - 4ac
D = (-61)² - 4 * 28 * 48
D = 3721 - 5376
D = -1655

Lagi-lagi, diskriminan negatif. Hal ini sangat mengindikasikan ada kesalahan dalam penulisan soal SPLDV ini, karena tidak menghasilkan solusi real.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal ini memang dimaksudkan untuk memiliki solusi dan kita harus melanjutkan dengan asumsi bahwa mungkin ada kesalahan ketik yang membuat diskriminan negatif, kita tidak bisa melanjutkan untuk menemukan nilai P dan Q (dan karenanya x dan y) secara matematis dari sini.

Jika kita berasumsi ada kesalahan dalam soal dan mencoba mencari pola atau kesalahan yang mungkin, misalnya jika persamaan kedua adalah:
7/(2x+3y) + 4/(3x-2y) = K (suatu konstanta yang lebih sesuai)

Atau jika konstanta di persamaan pertama berbeda.

Karena soal ini tidak menghasilkan solusi real dengan metode aljabar standar, tidak mungkin untuk menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari SPLDV ini seperti yang diminta. Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan tersebut mungkin tidak konsisten atau tidak memiliki solusi dalam bilangan real.