Nyatakan fungsi pecahan: (x^3-7)/(x^2+x-2) menjadi fungsi

Fungsi pecahan $\frac{x^3 - 7}{x^2 + x - 2}$ dapat dinyatakan sebagai $x - 1 + \frac{5}{x+2} - \frac{2}{x-1}$.

Pembahasan

Untuk menyatakan fungsi pecahan $\frac{x^3 - 7}{x^2 + x - 2}$ menjadi fungsi pecahan sebagian, pertama-tama kita perlu membagi pembilang dengan penyebut karena derajat pembilang (3) lebih besar dari derajat penyebut (2). Setelah melakukan pembagian polinomial, kita akan mendapatkan hasil bagi berupa polinomial dan sisa berupa fungsi pecahan dengan derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut. Penyebut $x^2 + x - 2$ dapat difaktorkan menjadi $(x+2)(x-1)$.

Langkah 1: Pembagian Polinomial
Kita bagi $x^3 - 7$ dengan $x^2 + x - 2$.
```
        x   - 1
      ________________
 x^2+x-2 | x^3 + 0x^2 + 0x - 7
        -(x^3 + x^2 - 2x)
        ____________
              -x^2 + 2x - 7
            -(-x^2 - x + 2)
            ____________
                   3x - 9
```
Hasilnya adalah $x - 1 + \frac{3x - 9}{x^2 + x - 2}$.

Langkah 2: Dekomposisi Pecahan Sebagian dari Sisa
Sekarang kita dekomposisi $\frac{3x - 9}{(x+2)(x-1)}$ menjadi pecahan sebagian:
$\frac{3x - 9}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$

Kalikan kedua sisi dengan $(x+2)(x-1)$:
$3x - 9 = A(x-1) + B(x+2)$

Untuk mencari A, substitusikan $x = -2$:
$3(-2) - 9 = A(-2-1) + B(-2+2)$
$-6 - 9 = A(-3) + B(0)$
$-15 = -3A$
$A = 5$

Untuk mencari B, substitusikan $x = 1$:
$3(1) - 9 = A(1-1) + B(1+2)$
$3 - 9 = A(0) + B(3)$
$-6 = 3B$
$B = -2$

Maka, dekomposisi pecahan sebagian dari $\frac{3x - 9}{(x+2)(x-1)}$ adalah $\frac{5}{x+2} - \frac{2}{x-1}$.

Langkah 3: Gabungkan Hasilnya
Fungsi pecahan awal adalah hasil bagi ditambah dekomposisi pecahan sebagian dari sisa:
$\frac{x^3 - 7}{x^2 + x - 2} = x - 1 + \frac{5}{x+2} - \frac{2}{x-1}$

Jadi, fungsi pecahan $\frac{x^3 - 7}{x^2 + x - 2}$ dapat dinyatakan sebagai fungsi pecahan sebagian $x - 1 + \frac{5}{x+2} - \frac{2}{x-1}$