Pada belah ketupat PQRS di atas, besar sudut P=60 dan

72√3 cm²

Pembahasan

Belah ketupat PQRS memiliki sifat bahwa diagonal-diagonalnya saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang. Diagonal QS dan PR berpotongan di titik O, sehingga sudut POQ = 90 derajat.

Diketahui:
Besar sudut P = 60 derajat
Panjang QS = 12 cm

Karena belah ketupat memiliki sisi yang sama panjang, segitiga PQS adalah segitiga sama kaki. Sudut P pada belah ketupat dibentuk oleh dua sudut yang sama besar di dalam segitiga PQS, yaitu sudut QPS dan sudut RPS. Namun, informasi sudut P=60 derajat lebih mengarah pada sifat bahwa belah ketupat ini sebenarnya adalah gabungan dua segitiga sama sisi jika diagonalnya membagi sudut tersebut menjadi 30 derajat.

Namun, jika kita melihat belah ketupat PQRS, sudut P merujuk pada sudut ∠QPS. Dalam belah ketupat, diagonal membagi sudut menjadi dua sama besar. Jadi, jika ∠QPS = 60°, maka ∠QPO = ∠RPS = 30°. Hal ini tidak langsung membantu tanpa informasi sudut lain atau panjang sisi.

Mari kita gunakan informasi panjang diagonal QS = 12 cm. Diagonal-diagonal belah ketupat saling berpotongan tegak lurus dan membagi dua sama panjang. Misalkan titik potongnya adalah O. Maka:
QO = OS = QS / 2 = 12 cm / 2 = 6 cm.

Dalam segitiga siku-siku POQ, kita tahu QO = 6 cm. Untuk mencari luas, kita perlu panjang PO (setengah dari diagonal PR).
Dalam belah ketupat, sudut yang dibentuk oleh sisi dan diagonalnya tidak selalu sama. Namun, jika salah satu sudut belah ketupat adalah 60 derajat, maka belah ketupat tersebut adalah gabungan dari dua segitiga sama sisi. Jika ∠P = 60°, maka segitiga PQR dan PSR adalah segitiga sama kaki. Diagonal QS membagi ∠P dan ∠R. Jika kita menganggap ∠QPS = 60°, maka ∠PQR = 180 - 60 = 120 derajat.

Dalam segitiga siku-siku POQ, sudut ∠QPO = ∠QPS / 2 = 60° / 2 = 30°. Kita bisa menggunakan trigonometri untuk mencari PO:
tan(∠PQO) = PO / QO
Untuk mencari ∠PQO, kita perlu informasi lain. Atau sebaliknya:
tan(∠QPO) = QO / PO
tan(30°) = 6 cm / PO
PO = 6 cm / tan(30°)
PO = 6 cm / (1/√3)
PO = 6√3 cm

Panjang diagonal PR = 2 * PO = 2 * 6√3 cm = 12√3 cm.

Luas belah ketupat = (1/2) * d1 * d2
Luas = (1/2) * QS * PR
Luas = (1/2) * 12 cm * 12√3 cm
Luas = 6 * 12√3 cm²
Luas = 72√3 cm²

Ada kemungkinan interpretasi lain dari 'besar sudut P=60'. Jika itu adalah sudut di salah satu sudut lancip belah ketupat, maka perhitungan di atas benar.

Jika kita menganggap bahwa belah ketupat ini terbentuk dari dua segitiga sama sisi, maka diagonal QS akan membagi sudut P dan R menjadi dua bagian, dan diagonal PR akan membagi sudut Q dan S. Jika sudut P = 60, dan diagonal QS membagi dua sudut P, maka segitiga PQS akan memiliki sudut P 30, sudut S 90, dan sudut Q 60, yang tidak mungkin. Jadi interpretasi sudut P=60 sebagai salah satu sudut interior belah ketupat adalah yang paling masuk akal.

Mari kita ulang dengan asumsi ∠P = 60 derajat adalah salah satu sudut internal belah ketupat (misalnya ∠SPQ = 60°).
Diagonal QS = 12 cm. Titik potong diagonal adalah O. Maka QO = OS = 6 cm.
Karena belah ketupat adalah jajargenjang, maka jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°. Jadi, ∠PQR = 180° - 60° = 120°.
Diagonal PR membagi dua sudut P dan R. Diagonal QS membagi dua sudut Q dan S.
Dalam segitiga siku-siku POQ:
∠OPQ = ∠SPQ / 2 = 60° / 2 = 30°.
Kita tahu QO = 6 cm.
Kita cari PO:
tan(∠OPQ) = QO / PO
tan(30°) = 6 / PO
PO = 6 / tan(30°) = 6 / (1/√3) = 6√3 cm.

Panjang diagonal PR = 2 * PO = 2 * 6√3 = 12√3 cm.

Luas belah ketupat = 1/2 * d1 * d2
Luas = 1/2 * QS * PR
Luas = 1/2 * 12 * 12√3
Luas = 6 * 12√3
Luas = 72√3 cm²

Jika sudut P yang dimaksud adalah sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang bertemu di P, dan panjang diagonal QS=12 cm, maka jawabannya adalah 72√3 cm².