Pada bidang empat beraturan T.ABC panjang rusuknya 16 cm .

8√2 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara garis TA dan BC pada bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 16 cm, kita perlu memahami sifat-sifat bidang empat beraturan (limas segitiga beraturan).

Dalam limas segitiga beraturan T.ABC, semua rusuknya sama panjang, yaitu 16 cm. Alasnya (segitiga ABC) adalah segitiga sama sisi, dan sisi tegaknya (TAB, TBC, TAC) juga merupakan segitiga sama sisi.

Kita perlu mencari jarak antara dua garis bersilangan, yaitu TA dan BC.

1.  Visualisasi:
    Bayangkan limas T.ABC. Rusuk TA adalah salah satu rusuk tegak, sedangkan BC adalah salah satu rusuk alas.

2.  Sifat Jarak Dua Garis Bersilangan:
    Jarak antara dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.

3.  Menemukan Ruas Garis Tegak Lurus:
    Karena ini adalah limas segitiga beraturan, kita bisa memanfaatkan simetri.
    Pertimbangkan segitiga TBC. Karena TBC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 16 cm, titik tengah dari BC akan menjadi titik M.
    Garis TM adalah tinggi dari segitiga sama sisi TBC, dan TM tegak lurus BC.
    Panjang TM dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TMB (dimana TB = 16 cm dan BM = 16/2 = 8 cm):
    TM^2 = TB^2 - BM^2
    TM^2 = 16^2 - 8^2
    TM^2 = 256 - 64
    TM^2 = 192
    TM = sqrt(192) = sqrt(64 * 3) = 8 * sqrt(3) cm.

    Sekarang, pertimbangkan segitiga TAB. Rusuk TA = 16 cm dan TB = 16 cm. Segitiga TAB adalah segitiga sama kaki.
    Kita ingin mencari ruas garis yang menghubungkan TA dan BC serta tegak lurus terhadap keduanya.
    Karena simetri, kita bisa melihat bahwa jarak dari titik A ke garis TM pada bidang yang melalui TA dan tegak lurus BC adalah yang kita cari.

    Cara yang lebih sederhana adalah dengan menyadari bahwa jarak antara rusuk TA dan rusuk BC dalam limas segitiga beraturan adalah sama dengan tinggi dari salah satu segitiga sisi tegak ke rusuk alas yang tidak berpotongan.
    Misalnya, jika kita mengambil bidang yang melalui rusuk TA dan sejajar dengan BC, maka jaraknya akan sama.

    Mari kita gunakan konsep proyeksi atau vektor jika diperlukan, tetapi untuk limas beraturan, seringkali ada solusi geometris yang lebih langsung.

    Alternatif: Jarak antara rusuk TA dan BC adalah jarak antara titik A ke bidang TBC, namun itu bukan jarak antara dua garis.

    Mari kita fokus pada ruas garis yang menghubungkan titik pada TA dan titik pada BC yang tegak lurus.
    Pertimbangkan segitiga TAC. AC = 16, TA = 16. Titik tengah BC adalah M. CM = MB = 8.
    Pertimbangkan segitiga TAB. AB = 16, TA = 16. Titik tengah BC adalah M. BM = MC = 8.

    Jika kita memotong limas dengan bidang yang tegak lurus BC dan melalui titik tengah M dari BC, maka bidang ini akan mengandung TA?
    Tidak, tidak selalu.

    Perhatikan segitiga ABC. Ini adalah segitiga sama sisi. Tarik garis tinggi dari A ke BC, sebut saja AD. AD tegak lurus BC. Panjang AD = 16 * sqrt(3)/2 = 8*sqrt(3).
    Titik D adalah titik tengah BC.
    Karena limas beraturan, garis tinggi dari T ke alas ABC akan jatuh pada pusat segitiga ABC (titik O). OA = OB = OC = 2/3 * AD = 2/3 * 8*sqrt(3) = 16*sqrt(3)/3.

    Sekarang, perhatikan bidang yang dibentuk oleh rusuk TA dan garis tinggi AD. Jarak antara TA dan BC adalah jarak dari titik A ke garis yang sejajar BC dan melewati T.

    Mari kita gunakan sifat jarak antara dua garis bersilangan dalam tetrahedron beraturan (yang merupakan kasus khusus limas segitiga beraturan jika semua rusuknya sama).
    Dalam tetrahedron beraturan dengan panjang rusuk 'a', jarak antara dua rusuk yang bersilangan adalah a / sqrt(2).
    Namun, ini bukan tetrahedron beraturan karena alasnya adalah segitiga sama sisi dan sisi tegaknya adalah segitiga sama sisi. Jadi, T.ABC adalah limas segitiga beraturan.

    Dalam limas segitiga beraturan, jarak antara rusuk tegak (misalnya TA) dan rusuk alas yang tidak berpotongan (BC) sama dengan tinggi dari salah satu segitiga sisi tegak ke alasnya.
    Kita sudah menghitung tinggi segitiga TBC (yaitu TM) = 8*sqrt(3).
    Namun, TM tegak lurus BC, tetapi tidak harus tegak lurus TA.

    Pikirkan jarak antara TA dan BC. Kita cari titik P di TA dan Q di BC sehingga PQ tegak lurus TA dan PQ tegak lurus BC.
    Karena simetri, jika kita memproyeksikan TA ke bidang yang tegak lurus BC, jaraknya akan sama.

    Consider segitiga TBC. M adalah titik tengah BC. TM tegak lurus BC.
    Consider segitiga TAB. N adalah titik tengah TA. BN tegak lurus TA.

    Jarak antara TA dan BC adalah jarak antara titik A dan garis TM (yang tegak lurus BC) pada bidang yang tegak lurus BC. Ini tidak benar.

    Mari kita gunakan koordinat:
A = (0, 0, 0)
B = (16, 0, 0)
C = (8, 8*sqrt(3), 0)

    Titik T harus berjarak 16 dari A, B, dan C. Pusat alas O adalah titik tengah dari tinggi segitiga ABC. Tinggi AD = 8*sqrt(3). O berada pada AD, 2/3 dari A. O = (1/3) * A + (1/3) * B + (1/3) * C = (1/3)*(0+16+8), (1/3)*(0+0+8*sqrt(3)), (1/3)*(0+0+0)) = (8, 8*sqrt(3)/3, 0).
    Jarak AO = sqrt(8^2 + (8*sqrt(3)/3)^2) = sqrt(64 + 64*3/9) = sqrt(64 + 64/3) = sqrt(64 * (1 + 1/3)) = sqrt(64 * 4/3) = 8 * 2 / sqrt(3) = 16/sqrt(3) = 16*sqrt(3)/3.
    Ini adalah jari-jari lingkaran luar segitiga sama sisi.

    T terletak di atas O dengan jarak TO = h.
    TA^2 = AO^2 + TO^2
    16^2 = (16*sqrt(3)/3)^2 + h^2
    256 = (256 * 3 / 9) + h^2
    256 = 256/3 + h^2
    h^2 = 256 - 256/3 = 256 * (1 - 1/3) = 256 * (2/3)
    h = sqrt(256 * 2 / 3) = 16 * sqrt(2/3) = 16 * sqrt(6) / 3.

    Koordinat T = (8, 8*sqrt(3)/3, 16*sqrt(6)/3).

    Sekarang kita punya:
    Titik A = (0, 0, 0)
    Titik T = (8, 8*sqrt(3)/3, 16*sqrt(6)/3)
    Vektor TA = T - A = (8, 8*sqrt(3)/3, 16*sqrt(6)/3)

    Titik B = (16, 0, 0)
    Titik C = (8, 8*sqrt(3), 0)
    Vektor BC = C - B = (8-16, 8*sqrt(3)-0, 0-0) = (-8, 8*sqrt(3), 0)

    Jarak antara dua garis bersilangan (vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$) yang melalui titik $P_1$ dan $P_2$ adalah:
    Distance = | ($\vec{P_1P_2}$) $\cdot$ ($\vec{u} \times \vec{v}$) | / || $\vec{u} \times \vec{v}$ ||

    $\vec{P_1P_2}$ = A - B = (0-16, 0-0, 0-0) = (-16, 0, 0)
    $\vec{u}$ = Vektor TA = (8, 8*sqrt(3)/3, 16*sqrt(6)/3)
    $\vec{v}$ = Vektor BC = (-8, 8*sqrt(3), 0)

    Hitung $\vec{u} \times \vec{v}$:
    $\vec{u} \times \vec{v}$ = | i                j                  k              |
                     | 8            8*sqrt(3)/3      16*sqrt(6)/3   |
                     | -8           8*sqrt(3)         0              |

    = i * (0 - (16*sqrt(6)/3) * (8*sqrt(3)))
      - j * (0 - (16*sqrt(6)/3) * (-8))
      + k * (8 * (8*sqrt(3)) - (8*sqrt(3)/3) * (-8))

    = i * (-128 * sqrt(18) / 3)
      - j * (128 * sqrt(6) / 3)
      + k * (64*sqrt(3) + 64*sqrt(3)/3)

    sqrt(18) = sqrt(9*2) = 3*sqrt(2)

    = i * (-128 * 3*sqrt(2) / 3)
      - j * (128 * sqrt(6) / 3)
      + k * (64*sqrt(3) * (1 + 1/3))

    = i * (-128*sqrt(2))
      - j * (128*sqrt(6) / 3)
      + k * (64*sqrt(3) * (4/3))

    = i * (-128*sqrt(2))
      - j * (128*sqrt(6) / 3)
      + k * (256*sqrt(3) / 3)

    || $\vec{u} \times \vec{v}$ ||^2 = (-128*sqrt(2))^2 + (-128*sqrt(6)/3)^2 + (256*sqrt(3)/3)^2
    = 16384 * 2 + (16384 * 6 / 9) + (65536 * 3 / 9)
    = 32768 + (16384 * 2 / 3) + (65536 / 3)
    = 32768 + 32768/3 + 65536/3
    = 32768 + 98304/3
    = 32768 + 32768 = 65536

    || $\vec{u} \times \vec{v}$ || = sqrt(65536) = 256

    Hitung ($\vec{P_1P_2}$) $\cdot$ ($\vec{u} \times \vec{v}$):
    = (-16, 0, 0) $\cdot$ (-128*sqrt(2), -128*sqrt(6)/3, 256*sqrt(3)/3)
    = (-16) * (-128*sqrt(2)) + 0 + 0
    = 2048 * sqrt(2)

    Distance = | 2048 * sqrt(2) | / 256
    Distance = 2048 * sqrt(2) / 256
    Distance = 8 * sqrt(2)

    Hmm, mari kita cek kembali asumsi atau perhitungan.

    Dalam limas segitiga beraturan, jarak antara dua rusuk yang bersilangan (misalnya TA dan BC) adalah sama dengan jarak antara titik A dan bidang TBC, jika bidang tersebut tegak lurus terhadap ruas garis yang menghubungkan titik di TA dan BC.

    Pertimbangkan rusuk TA dan BC. Kita tahu bahwa di segitiga sama sisi TBC, garis tinggi dari T ke BC (yaitu TM, dengan M titik tengah BC) adalah $8\sqrt{3}$. Garis TM tegak lurus BC.
    Di segitiga sama sisi TAB, garis tinggi dari B ke TA (misalnya BN) akan tegak lurus TA.

    Jarak antara TA dan BC adalah panjang ruas garis PQ, di mana P pada TA dan Q pada BC, serta PQ tegak lurus TA dan PQ tegak lurus BC.

    Karena simetri, kita bisa melihat bahwa jarak antara TA dan BC sama dengan jarak antara AB dan TC, atau jarak antara AC dan TB.

    Mari kita pertimbangkan bidang yang melalui A dan tegak lurus BC. Bidang ini akan memotong BC di titik tengahnya, M.
    Bidang ini akan mengandung AD (garis tinggi alas) dan juga TM (garis tinggi sisi tegak). Tapi ini tidak benar.

    Dalam tetrahedron beraturan dengan rusuk 'a', jarak antara dua rusuk bersilangan adalah a/sqrt(2).
    Tetapi ini bukan tetrahedron beraturan karena hanya alasnya yang segitiga sama sisi.

    Dalam limas segitiga beraturan dengan rusuk alas 'a' dan rusuk tegak 'b'. Jika a=b=16.
    Jarak antara dua rusuk bersilangan, misalnya TA dan BC.
    Kita bisa memproyeksikan TA ke bidang yang tegak lurus BC. Misal kita ambil bidang yang melalui A dan tegak lurus BC. Bidang ini akan mengandung garis tinggi dari A ke BC (AD).

    Cara lain: Jarak antara TA dan BC adalah sama dengan jarak dari A ke garis yang melalui T dan sejajar BC, atau jarak dari T ke garis yang melalui A dan sejajar BC.

    Pertimbangkan segitiga TBC. M adalah titik tengah BC. TM = $8\sqrt{3}$.
    Pertimbangkan segitiga TAB. N adalah titik tengah TA. BN tegak lurus TA.

    Jarak antara TA dan BC adalah sama dengan jarak dari titik A ke garis yang melalui T dan tegak lurus BC. Ini juga tidak benar.

    Jarak antara TA dan BC = Jarak antara A dan bidang TBC jika TA sejajar BC. Tidak.

    Mari kita kembali ke sifat geometris:
    Dalam limas segitiga beraturan dengan rusuk 16 cm. Jarak antara rusuk TA dan rusuk BC.
    Rusuk TA = 16 cm. Rusuk BC = 16 cm.
    Rusuk TA tidak sejajar dengan BC, mereka bersilangan.

    Kita tahu bahwa di segitiga TBC, TM adalah tinggi dari T ke BC, dan TM tegak lurus BC. TM = $8\sqrt{3}$.
    Di segitiga ABC, AD adalah tinggi dari A ke BC, dan AD tegak lurus BC. AD = $8\sqrt{3}$.

    Ruas garis yang menghubungkan TA dan BC yang tegak lurus keduanya adalah ruas garis yang menghubungkan titik tengah TA (N) dengan titik tengah BC (M), jika T.ABC adalah tetrahedron beraturan. Tapi ini bukan tetrahedron beraturan.

    Jarak antara TA dan BC sama dengan jarak dari titik A ke garis yang melalui T dan sejajar BC. Ini juga tidak benar.

    Mari kita coba memvisualisasikan.
    Ambil titik P pada TA dan Q pada BC sehingga PQ tegak lurus TA dan PQ tegak lurus BC.
    Karena simetri, P harus berada di tengah TA dan Q harus berada di tengah BC. Yaitu P=N (titik tengah TA) dan Q=M (titik tengah BC).
    Kita perlu memeriksa apakah NM tegak lurus TA dan NM tegak lurus BC.

    N adalah titik tengah TA. M adalah titik tengah BC.
    Kita perlu menghitung panjang ruas garis NM.

    Menggunakan koordinat:
A = (0, 0, 0)
T = (8, 8*sqrt(3)/3, 16*sqrt(6)/3)
B = (16, 0, 0)
C = (8, 8*sqrt(3), 0)

N = Titik tengah TA = (A+T)/2 = (4, 4*sqrt(3)/3, 8*sqrt(6)/3)
M = Titik tengah BC = (B+C)/2 = ((16+8)/2, (0+8*sqrt(3))/2, (0+0)/2) = (12, 4*sqrt(3), 0)

Hitung vektor NM = M - N
NM = (12 - 4, 4*sqrt(3) - 4*sqrt(3)/3, 0 - 8*sqrt(6)/3)
NM = (8, 12*sqrt(3)/3 - 4*sqrt(3)/3, -8*sqrt(6)/3)
NM = (8, 8*sqrt(3)/3, -8*sqrt(6)/3)

Panjang NM = ||NM|| = sqrt(8^2 + (8*sqrt(3)/3)^2 + (-8*sqrt(6)/3)^2)
= sqrt(64 + (64*3)/9 + (64*6)/9)
= sqrt(64 + 64/3 + 64*2/3)
= sqrt(64 + 64/3 + 128/3)
= sqrt(64 + 192/3)
= sqrt(64 + 64)
= sqrt(128)
= sqrt(64 * 2) = 8*sqrt(2).

Sekarang kita perlu memeriksa apakah NM tegak lurus TA dan NM tegak lurus BC.

Uji NM tegak lurus TA:
NM $\cdot$ TA = (8, 8*sqrt(3)/3, -8*sqrt(6)/3) $\cdot$ (8, 8*sqrt(3)/3, 16*sqrt(6)/3)
= 8*8 + (8*sqrt(3)/3)*(8*sqrt(3)/3) + (-8*sqrt(6)/3)*(16*sqrt(6)/3)
= 64 + (64*3)/9 + (-128*6)/9
= 64 + 64/3 - 128*2/3
= 64 + 64/3 - 256/3
= 64 - 192/3
= 64 - 64 = 0.

Ya, NM tegak lurus TA.

Uji NM tegak lurus BC:
NM $\cdot$ BC = (8, 8*sqrt(3)/3, -8*sqrt(6)/3) $\cdot$ (-8, 8*sqrt(3), 0)
= 8*(-8) + (8*sqrt(3)/3)*(8*sqrt(3)) + (-8*sqrt(6)/3)*0
= -64 + (64*3)/3 + 0
= -64 + 64 = 0.

Ya, NM tegak lurus BC.

Jadi, jarak antara TA dan BC adalah panjang NM, yaitu $8\sqrt{2}$ cm.