Pada gambar berikut diketahui RS=26 cm, RP=8 cm, dan QS=2

24 cm

Pembahasan

Untuk mencari panjang garis singgung persekutuan dalam (PQ) kedua lingkaran, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh garis singgung, jarak antara pusat lingkaran, dan selisih jari-jari kedua lingkaran.

Diketahui:
*   Jari-jari lingkaran pertama (lingkaran dengan pusat R) = RS = 26 cm.
*   Jari-jari lingkaran kedua (lingkaran dengan pusat Q) = QS = 2 cm.
*   Jarak antara titik P dan R adalah RP = 8 cm. Namun, ini tampaknya merujuk pada jarak dari titik pada lingkaran ke titik singgung, bukan jarak antara pusat. Asumsi yang lebih umum dalam soal garis singgung persekutuan adalah RP adalah jarak dari salah satu titik singgung ke pusat lingkaran lain, atau ada informasi yang kurang mengenai posisi titik P dan R.

Namun, jika kita menginterpretasikan soal ini dengan informasi yang diberikan dan diagram yang diasumsikan:
*   Kita memiliki dua lingkaran yang bersinggungan atau berdekatan.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   RS adalah jari-jari lingkaran pertama (dengan pusat di R).
*   QS adalah jari-jari lingkaran kedua (dengan pusat di Q).
*   RP = 8 cm.

Dalam konteks garis singgung persekutuan dalam, RS dan QS seharusnya adalah jari-jari dari pusat lingkaran masing-masing. Jika RS adalah jari-jari lingkaran pertama dan QS adalah jari-jari lingkaran kedua, maka R dan Q adalah pusat lingkaran.

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam (d) antara dua lingkaran dengan jari-jari r1 dan r2, serta jarak antar pusat (p) adalah:
d = sqrt(p^2 - (r1 + r2)^2)

Di sini, kita perlu mengetahui jarak antara pusat kedua lingkaran (p) dan jari-jari keduanya. Informasi yang diberikan RS=26 cm dan QS=2 cm bisa jadi jari-jari, namun penamaan R dan Q sebagai pusat lingkaran harus dipastikan. Jika R dan Q adalah pusat lingkaran, maka RS dan QS tidak bisa menjadi jari-jari sekaligus. Kemungkinan RS adalah jari-jari lingkaran pertama dan QS adalah jari-jari lingkaran kedua, sehingga pusatnya adalah R dan Q. Jari-jari lingkaran pertama = 26 cm, jari-jari lingkaran kedua = 2 cm.

Informasi RP=8 cm dan QS=2 cm agak membingungkan jika R dan Q adalah pusat. Jika R dan Q adalah pusat, maka jari-jari lingkaran pertama adalah R_1 dan jari-jari lingkaran kedua adalah R_2. PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.

Jika diasumsikan:
*   Lingkaran 1 berpusat di O1, jari-jari r1.
*   Lingkaran 2 berpusat di O2, jari-jari r2.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.

Maka, panjang PQ = sqrt(jarak(O1, O2)^2 - (r1 + r2)^2).

Kita harus mengklarifikasi apa yang dimaksud dengan RS, RP, dan QS. Jika RS adalah jari-jari lingkaran pertama (r1 = 26 cm) dan QS adalah jari-jari lingkaran kedua (r2 = 2 cm), dan PQ adalah garis singgung persekutuan dalam, kita perlu jarak antara pusat kedua lingkaran. RP=8 cm tidak secara langsung memberikan jarak antar pusat.

Namun, jika kita melihat soal serupa, kadang-kadang digambarkan sebuah trapesium siku-siku yang dibentuk oleh jari-jari dan garis singgung. Jika R dan Q adalah pusat, dan kita tarik garis dari Q sejajar PQ hingga memotong perpanjangan RS (atau dari R sejajar PQ hingga memotong QS), akan terbentuk sebuah persegi panjang dan segitiga siku-siku.

Jika R dan Q adalah pusat:
*   Jari-jari lingkaran yang berpusat di R = r1
*   Jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r2
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.

Dari soal, RS=26 cm dan QS=2 cm. Jika kita menganggap R dan Q adalah pusat, maka RS dan QS adalah jari-jari.
*   r1 = 26 cm
*   r2 = 2 cm

Jika PQ adalah garis singgung persekutuan dalam, maka kita bisa membentuk segitiga siku-siku. Misalkan kita tarik garis dari Q sejajar PQ hingga memotong RS di titik T. Maka RQ adalah jarak antar pusat. QT = PQ. RT = RS - ST. ST = QS = r2. Jadi RT = r1 - r2.

Dalam segitiga siku-siku RTQ:
RQ^2 = RT^2 + QT^2
RQ^2 = (r1 - r2)^2 + PQ^2

Ini berlaku untuk garis singgung persekutuan luar. Untuk garis singgung persekutuan dalam, kita memerlukan jarak antar pusat (p) dan r1 + r2.

Jika soal ini merujuk pada garis singgung persekutuan dalam, dan diasumsikan R dan Q adalah pusat lingkaran, maka jarak antar pusat adalah RQ. Maka:
PQ^2 = RQ^2 - (r1 + r2)^2

Informasi RP=8 cm dan QS=2 cm masih membingungkan. Jika kita mengasumsikan R dan Q adalah titik di lingkaran, dan ada pusat di suatu tempat, ini menjadi lebih kompleks.

Mari kita coba interpretasi lain: mungkin RS dan QS adalah bagian dari garis yang menghubungkan kedua pusat atau tegak lurus terhadap garis singgung.

Jika kita mengasumsikan ada dua lingkaran, satu dengan jari-jari 26 cm dan satu lagi dengan jari-jari 2 cm, dan PQ adalah garis singgung persekutuan dalam. Kita perlu jarak antara pusat kedua lingkaran. RP=8 cm ini mungkin adalah bagian dari jarak tersebut.

Jika kita melihat diagram umum untuk garis singgung persekutuan dalam:
Misalkan lingkaran 1 berpusat di O1 dengan jari-jari r1, dan lingkaran 2 berpusat di O2 dengan jari-jari r2. PQ adalah garis singgung persekutuan dalam. Maka O1P tegak lurus PQ dan O2Q tegak lurus PQ.

Kita dapat membentuk segitiga siku-siku dengan menarik garis dari O2 sejajar PQ hingga memotong perpanjangan O1P di titik S.
*   O1O2 adalah jarak antar pusat (p).
*   PS = O2Q = r2.
*   O1S = O1P + PS = r1 + r2.
*   O2S = PQ.

Maka dalam segitiga siku-siku O1SO2:
O1O2^2 = O1S^2 + O2S^2
p^2 = (r1 + r2)^2 + PQ^2

Jadi, PQ^2 = p^2 - (r1 + r2)^2.

Dalam soal ini, jika RS=26 cm dan QS=2 cm adalah jari-jari (r1=26, r2=2), dan PQ adalah garis singgung persekutuan dalam. Kita perlu jarak antar pusat. Informasi RP=8 cm sangat tidak jelas.

Jika kita menganggap RS dan QS sebagai jari-jari, dan ada jarak antar pusat yang melibatkan RP=8cm, ini masih ambigu.

Namun, jika kita membaca soal ini sebagai soal standar garis singgung persekutuan dalam, dan ada kesalahan penulisan:
Misalkan:
*   r1 = 26 cm
*   r2 = 2 cm
*   Jarak antara pusat kedua lingkaran (p) adalah nilai yang perlu dicari atau diberikan.

Jika RP=8 cm adalah jarak antara titik P (titik singgung di lingkaran pertama) dan R (pusat lingkaran pertama), maka RP adalah jari-jari. Tapi RS=26 cm juga diberikan.

Ada kemungkinan bahwa RP adalah jarak antara pusat salah satu lingkaran dengan titik singgung di lingkaran lain, atau RP adalah bagian dari jarak antar pusat.

Mari kita asumsikan bahwa:
*   Lingkaran 1 berpusat di O1 dengan jari-jari r1 = 26 cm.
*   Lingkaran 2 berpusat di O2 dengan jari-jari r2 = 2 cm.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   Informasi RP=8 cm digunakan untuk menentukan jarak antar pusat.

Jika R adalah pusat lingkaran pertama dan Q adalah pusat lingkaran kedua, maka:
*   r1 = RS = 26 cm (asumsi S ada di lingkaran pertama, R adalah pusat)
*   r2 = QS = 2 cm (asumsi S ada di lingkaran kedua, Q adalah pusat)

Ini kontradiktif karena S tidak bisa berada di kedua lingkaran kecuali mereka bersinggungan di S.

Mari kita coba interpretasi soal yang lebih umum:
Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari r1 dan r2. PQ adalah garis singgung persekutuan dalam. Jarak antara pusat kedua lingkaran adalah p.
Maka PQ = sqrt(p^2 - (r1+r2)^2).

Jika RS=26 dan QS=2 adalah jari-jari, maka r1=26 dan r2=2. Kita perlu p. Informasi RP=8 cm.

Ada kemungkinan soal ini merujuk pada konfigurasi di mana:
*   Lingkaran pertama memiliki jari-jari R1.
*   Lingkaran kedua memiliki jari-jari R2.
*   Garis singgung persekutuan dalam adalah PQ.
*   RS=26 cm, RP=8 cm, QS=2 cm.

Jika kita menganggap R adalah pusat lingkaran pertama, maka jari-jarinya adalah R_1. Jika Q adalah pusat lingkaran kedua, maka jari-jari adalah R_2.

Jika R adalah pusat, maka RS=26 adalah jari-jari.
Jika Q adalah pusat, maka QS=2 adalah jari-jari.

Jika PQ adalah garis singgung persekutuan dalam, maka kita bisa membentuk sebuah trapesium yang dapat diubah menjadi persegi panjang dan segitiga siku-siku.

Misalkan lingkaran 1 berpusat di R dengan jari-jari r1 = RS = 26 cm. Misalkan lingkaran 2 berpusat di Q dengan jari-jari r2 = QS = 2 cm.

Jika PQ adalah garis singgung persekutuan dalam, maka kita bisa menarik garis dari Q sejajar PQ hingga memotong RS di titik T.
*   QT = PQ
*   RT = RS - TS = RS - QS = r1 - r2 = 26 - 2 = 24 cm.

Dalam segitiga siku-siku RTQ:
RQ^2 = RT^2 + QT^2

Namun, ini adalah rumus untuk garis singgung persekutuan luar.

Untuk garis singgung persekutuan dalam:
Kita tarik garis dari Q sejajar PQ hingga memotong perpanjangan RS di titik T. Maka:
*   QT = PQ
*   RT = RS + ST = RS + QS = r1 + r2 = 26 + 2 = 28 cm.

Dalam segitiga siku-siku RTQ:
RQ^2 = RT^2 + QT^2
RQ^2 = (r1 + r2)^2 + PQ^2

Ini berarti RQ adalah jarak antar pusat (p).
Jadi, p^2 = (26 + 2)^2 + PQ^2 = 28^2 + PQ^2.

Kita perlu nilai p (jarak RQ). Informasi RP=8 cm masih belum terpakai.

Kemungkinan lain: RP adalah jarak antara pusat salah satu lingkaran dengan titik singgung di lingkaran lain.

Jika kita mengasumsikan soal ini adalah soal standar untuk garis singgung persekutuan dalam dan ada informasi yang hilang atau salah ketik.

Jika RP=8 cm adalah jarak antara pusat lingkaran pertama (R) ke pusat lingkaran kedua (Q), maka p = RQ = 8 cm.
Tetapi ini tidak mungkin karena jarak antar pusat harus lebih besar dari jumlah jari-jari agar garis singgung persekutuan dalam ada.
Karena r1 + r2 = 26 + 2 = 28 cm, maka p harus lebih besar dari 28 cm.

Mari kita pertimbangkan interpretasi di mana RP adalah bagian dari jarak antar pusat.
Misalkan R adalah pusat lingkaran pertama, Q adalah pusat lingkaran kedua. Maka RS=26 adalah jari-jari r1, dan QS=2 adalah jari-jari r2.
Informasi RP=8 cm.

Jika R, P, Q membentuk sebuah garis, dan P adalah titik pada lingkaran pertama, dan Q adalah pusat lingkaran kedua. Ini juga tidak umum.

Asumsi yang paling masuk akal dengan informasi yang ada, meskipun penamaannya agak membingungkan, adalah:
*   Ada dua lingkaran.
*   Jari-jari lingkaran pertama (r1) = 26 cm.
*   Jari-jari lingkaran kedua (r2) = 2 cm.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   RP=8 cm adalah informasi yang digunakan untuk menghitung jarak antar pusat.

Jika kita menganggap konfigurasi di mana:
*   Lingkaran 1 berpusat di O1.
*   Lingkaran 2 berpusat di O2.
*   O1P tegak lurus PQ.
*   O2Q tegak lurus PQ.
*   O1P = r1, O2Q = r2.

Jika kita gambar dari O2 sebuah garis sejajar PQ yang memotong perpanjangan O1P di S.
*   O1O2 = p (jarak antar pusat).
*   O2S = PQ.
*   O1S = O1P + PS = r1 + r2.

Dalam segitiga siku-siku O1SO2:
p^2 = (r1 + r2)^2 + PQ^2.

Maka PQ = sqrt(p^2 - (r1 + r2)^2).

Jika RS=26 cm adalah jari-jari r1, QS=2 cm adalah jari-jari r2, dan RP=8 cm. Bagaimana RP digunakan untuk menentukan p?

Kemungkinan ada gambar yang menyertai soal ini yang tidak disertakan. Jika kita berasumsi bahwa:
*   R adalah pusat lingkaran pertama, jari-jari r1 = 26.
*   Q adalah pusat lingkaran kedua, jari-jari r2 = 2.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   RP = 8 cm adalah jarak antara titik R dan Q (jarak antar pusat).

Maka p = 8 cm. Tapi ini tidak mungkin karena p harus > r1 + r2 (8 < 26 + 2 = 28).

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain: RS=26 adalah jarak antara pusat R dan titik singgung S pada lingkaran pertama. RP=8 adalah jarak antara pusat R dan titik P pada garis singgung. QS=2 adalah jari-jari lingkaran kedua.

Jika kita mengasumsikan soal ini berhubungan dengan teorema Descartes atau lingkaran bersinggungan:

Jika kita kembali ke interpretasi yang paling umum untuk garis singgung persekutuan dalam:
*   r1 = 26 cm
*   r2 = 2 cm
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   Informasi RP=8 cm.

Jika kita mengasumsikan bahwa:
*   R adalah pusat lingkaran 1, jari-jari r1 = 26.
*   Q adalah pusat lingkaran 2, jari-jari r2 = 2.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   RP = 8 adalah jarak dari pusat R ke titik P pada garis singgung persekutuan.

Ini juga tidak sesuai.

Mari kita cari contoh soal serupa.

Jika soal ini mengacu pada sebuah teorema spesifik yang menggunakan panjang segmen seperti RS, RP, QS.

Seringkali, dalam soal garis singgung persekutuan, ada informasi jarak antar pusat.

Jika kita mengasumsikan bahwa RP adalah jarak antara titik P (pada lingkaran 1) dan R (pusat lingkaran 2), atau sebaliknya. Ini terlalu banyak asumsi.

Ada kemungkinan besar soal ini memiliki typo atau informasi yang tidak lengkap tanpa gambar.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan interpretasi yang paling umum:

Asumsi yang paling mungkin adalah:
*   r1 = 26 cm
*   r2 = 2 cm
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   RP = 8 cm adalah bagian dari jarak antar pusat, atau informasi lain.

Jika kita menganggap bahwa R dan Q adalah pusat lingkaran, maka RS=26 adalah jari-jari r1, dan QS=2 adalah jari-jari r2.
Jarak antar pusat = RQ.

Dalam soal ini, informasi RP=8 cm sangat membingungkan.

Jika kita mengasumsikan bahwa RP adalah jarak dari titik P pada garis singgung ke pusat R, dan QS adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q. RS=26 cm.

Jika ini adalah soal tentang jarak antara dua lingkaran yang bersinggungan:
*   Jika bersinggungan luar, jarak antar pusat = r1 + r2.
*   Jika bersinggungan dalam, jarak antar pusat = |r1 - r2|.

Kita tidak tahu apakah lingkaran bersinggungan.

Mari kita coba asumsi bahwa:
*   Lingkaran 1: pusat R, jari-jari r1 = 26 cm.
*   Lingkaran 2: pusat Q, jari-jari r2 = 2 cm.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   RP = 8 cm.

Jika R adalah pusat lingkaran pertama, maka RS=26 adalah jari-jari. Jika Q adalah pusat lingkaran kedua, maka QS=2 adalah jari-jari.

Jika PQ adalah garis singgung persekutuan dalam, maka:
PQ^2 = (Jarak antara pusat)^2 - (r1 + r2)^2.

Jika R dan Q adalah pusat, maka jarak antara pusat adalah RQ.
RQ^2 = (r1 + r2)^2 + PQ^2.

Jika RP = 8 cm. Apa hubungannya dengan RQ?

Mari kita cari soal dengan struktur serupa.

Jika RS=26, RP=8, QS=2. Dan PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.

Kemungkinan besar, ada diagram yang tidak disertakan atau soal ini salah.

Namun, jika kita mencoba interpretasi yang paling masuk akal dari penamaan variabel:
*   Lingkaran 1 berpusat di R, jari-jari r1 = RS = 26 cm.
*   Lingkaran 2 berpusat di Q, jari-jari r2 = QS = 2 cm.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.

Dalam gambar standar garis singgung persekutuan dalam, kita akan punya segitiga siku-siku dengan sisi:
*   Jarak antar pusat (RQ).
*   Jumlah jari-jari (RS + QS) jika kita membentuk trapesium yang diubah.
*   Panjang garis singgung (PQ).

Jika kita tarik garis dari Q sejajar PQ hingga memotong RS di T, maka RT = RS - TS = RS - QS = r1 - r2 = 26 - 2 = 24 cm. Dan QT = PQ. Segitiga siku-siku RTQ siku-siku di T.
RQ^2 = RT^2 + QT^2 = (r1 - r2)^2 + PQ^2. Ini untuk garis singgung luar.

Untuk garis singgung dalam, kita perlu penambahan jari-jari.

Jika kita menarik garis dari Q sejajar PQ hingga memotong perpanjangan RS di T:
*   QT = PQ.
*   RT = RS + ST = RS + QS = r1 + r2 = 26 + 2 = 28 cm.
*   RQ adalah jarak antar pusat (p).

Dalam segitiga siku-siku RTQ:
RQ^2 = RT^2 + QT^2
p^2 = (r1 + r2)^2 + PQ^2.

Jadi, PQ = sqrt(p^2 - (r1 + r2)^2).

Kita perlu nilai p = RQ. RP = 8 cm.

Jika kita mengasumsikan bahwa R, P, Q adalah titik-titik yang membentuk sebuah segitiga atau segmen garis, dan P adalah titik singgung pada salah satu lingkaran.

Jika RP=8 adalah jarak antara pusat R dan titik singgung P pada lingkaran pertama. Ini berarti jari-jari r1 = 8 cm, bukan 26 cm.

Kemungkinan besar, soal ini dirancang dengan:
*   Lingkaran 1 berpusat di O1, jari-jari r1.
*   Lingkaran 2 berpusat di O2, jari-jari r2.
*   Jarak antar pusat p = O1O2.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.
*   PQ = sqrt(p^2 - (r1+r2)^2).

Dalam soal ini:
RS = 26 cm.
RP = 8 cm.
QS = 2 cm.

Jika kita mengasumsikan bahwa:
*   Jari-jari lingkaran pertama r1 = 26 cm.
*   Jari-jari lingkaran kedua r2 = 2 cm.
*   RP = 8 cm adalah jarak antar pusat p.

Maka p = 8. Tapi 8 < 26 + 2 = 28, sehingga tidak mungkin.

Jika kita mengasumsikan bahwa:
*   Jari-jari lingkaran pertama r1 = 8 cm.
*   Jari-jari lingkaran kedua r2 = 2 cm.
*   RS = 26 cm adalah jarak antar pusat p.

Maka p = 26. r1 + r2 = 8 + 2 = 10. PQ = sqrt(26^2 - 10^2) = sqrt(676 - 100) = sqrt(576) = 24 cm.
Ini adalah interpretasi yang masuk akal jika RS adalah jarak antar pusat, dan RP serta QS adalah jari-jari.

Mari kita coba interpretasi ini:
*   Jarak antar pusat (p) = RS = 26 cm.
*   Jari-jari lingkaran pertama (r1) = RP = 8 cm.
*   Jari-jari lingkaran kedua (r2) = QS = 2 cm.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.

Maka PQ = sqrt(p^2 - (r1 + r2)^2)
PQ = sqrt(26^2 - (8 + 2)^2)
PQ = sqrt(676 - 10^2)
PQ = sqrt(676 - 100)
PQ = sqrt(576)
PQ = 24 cm.

Ini adalah jawaban yang paling mungkin jika kita menginterpretasikan penamaan variabel secara spesifik pada diagram standar garis singgung persekutuan dalam.

Jadi, dengan asumsi:
*   Jarak antar pusat kedua lingkaran adalah 26 cm.
*   Jari-jari lingkaran pertama adalah 8 cm.
*   Jari-jari lingkaran kedua adalah 2 cm.
*   PQ adalah garis singgung persekutuan dalam.

Maka panjang PQ adalah 24 cm.