Pada gambar berikut, tiga lingkaran masing-masing

Luas daerah yang diarsir adalah $12\pi$ cm$^2$.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung luas daerah yang diarsir pada gambar yang menunjukkan tiga lingkaran berjari-jari 2 cm. Asumsi umum untuk soal seperti ini adalah bahwa ketiga lingkaran tersebut bersinggungan satu sama lain dan membentuk area di tengahnya yang diarsir.

Setiap lingkaran memiliki jari-jari (r) = 2 cm.

Jika kita perhatikan konfigurasi tiga lingkaran yang bersinggungan, mereka membentuk sebuah segitiga sama sisi jika titik pusatnya dihubungkan. Sudut pada setiap titik pusat lingkaran dalam segitiga ini adalah 60 derajat (karena segitiga yang dibentuk oleh jari-jari ke titik singgung dan garis yang menghubungkan pusat-pusat adalah segitiga sama sisi jika semua jari-jari sama).

Luas satu lingkaran penuh adalah $A_{lingkaran} = \pi r^2$.
$A_{lingkaran} = \pi (2)^2 = 4\pi$ cm$^2$.

Karena kita berurusan dengan tiga lingkaran, dan daerah yang diarsir adalah area di tengah yang tidak termasuk dalam bagian lingkaran mana pun jika mereka bersinggungan luar, kita perlu mempertimbangkan bagaimana bagian lingkaran berkontribusi pada area total yang dibentuk oleh pusat-pusat mereka.

Dalam kasus tiga lingkaran yang identik dan bersinggungan satu sama lain, area total yang dibentuk oleh pusat-pusat lingkaran membentuk segitiga sama sisi. Setiap sudut di pusat lingkaran adalah $\frac{1}{3}$ dari lingkaran penuh, yaitu $\frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ$ jika kita mempertimbangkan sudut di pusat yang mencakup area di luar segitiga pusat, atau $60^\circ$ jika kita melihat segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan garis penghubung pusat.

Jika kita menganggap daerah yang diarsir adalah area yang dibentuk oleh pusat-pusat lingkaran dikurangi tiga sektor lingkaran, maka:
Luas segitiga sama sisi yang dibentuk oleh pusat-pusat lingkaran:
Sisi segitiga = r + r = 2 + 2 = 4 cm.
Luas segitiga sama sisi = $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$ cm$^2$.

Setiap sektor lingkaran di sudut segitiga memiliki sudut $60^\circ$. Luas satu sektor adalah $\frac{60}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ cm$^2$.

Luas tiga sektor = $3 \times \frac{2\pi}{3} = 2\pi$ cm$^2$.

Luas daerah yang diarsir (jika diartikan sebagai area di antara tiga lingkaran) = Luas segitiga pusat - Luas tiga sektor.
Luas diarsir = $4\sqrt{3} - 2\pi$.

Namun, pilihan jawaban diberikan dalam bentuk $\pi$ cm$^2$ saja, yang mengindikasikan interpretasi yang berbeda dari soal ini. Seringkali, soal seperti ini merujuk pada luas yang dibatasi oleh busur lingkaran di antara titik-titik singgungnya.

Jika kita menganggap ada area yang diarsir yang merupakan bagian dari lingkaran, dan konteks soal adalah sebuah gambar yang tidak disertakan, namun pilihan jawabannya adalah kelipatan $\pi$, kemungkinan besar soal tersebut merujuk pada luas yang terkait langsung dengan lingkaran itu sendiri, bukan area di antara mereka.

Misalnya, jika gambar menunjukkan satu lingkaran dan beberapa bagiannya yang diarsir, atau jika ada pola tertentu yang tidak dijelaskan.

Karena tidak ada gambar, dan pilihan jawaban berupa kelipatan $\pi$, mari kita pertimbangkan kemungkinan lain. Jika soal ini mengacu pada luas total tiga lingkaran dikurangi area tumpang tindih, itu akan lebih kompleks.

Namun, jika soal ini adalah tentang luas satu lingkaran yang diarsir sebagian, atau luas gabungan dari beberapa bagian lingkaran, dan pilihannya adalah $13\pi, 12\pi, 10\pi, 9\pi$. Ini adalah nilai yang besar untuk tiga lingkaran berjari-jari 2 cm.

Luas satu lingkaran = $4\pi$ cm$^2$. Luas tiga lingkaran = $12\pi$ cm$^2$.

Jika yang dimaksud adalah luas total ketiga lingkaran itu sendiri, maka jawabannya adalah $12\pi$ cm$^2$. Ini cocok dengan pilihan B.

Tanpa gambar, kita harus membuat asumsi yang paling masuk akal berdasarkan pilihan jawaban yang diberikan. Pilihan $12\pi$ cm$^2$ adalah tepat luas dari tiga lingkaran identik dengan jari-jari 2 cm ($3 \times \pi \times 2^2 = 3 \times 4\pi = 12\pi$). Ini adalah interpretasi yang paling langsung jika "luas daerah yang diarsir" mengacu pada total luas ketiga lingkaran tersebut.

Jika ada area yang tumpang tindih, luas total yang diarsir akan lebih kecil dari $12\pi$. Jika area yang diarsir adalah bagian dari lingkaran, maka nilai $12\pi$ atau $9\pi$ atau $10\pi$ atau $13\pi$ masih mungkin.

Mengingat pilihan jawaban, dan jika kita mengasumsikan soal ini menanyakan total luas ketiga lingkaran, maka jawabannya adalah $12\pi$ cm$^2$.