Pada gambar tersebut, garis AC adalah perpanjangan diameter

15 cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri lingkaran dan sifat-sifat garis singgung.
Diketahui: AB = 16 cm, AC = 25 cm. AC adalah perpanjangan diameter lingkaran O, dan CD adalah garis singgung.
Karena AC adalah perpanjangan diameter, maka titik A dan B berada pada lingkaran, dan O adalah pusat lingkaran. AB adalah diameter lingkaran.

1. Cari jari-jari lingkaran:
Diameter AB = 16 cm, maka jari-jari (r) = AB / 2 = 16 cm / 2 = 8 cm.

2. Cari panjang BC:
AC = AB + BC
25 cm = 16 cm + BC
BC = 25 cm - 16 cm = 9 cm.

3. Gunakan Teorema Pythagoras pada segitiga BCD:
Karena CD adalah garis singgung, maka sudut CBD adalah sudut siku-siku (90 derajat) jika B adalah titik singgung, namun di sini dikatakan AC adalah perpanjangan diameter, sehingga BC adalah bagian dari diameter yang memanjang. Sudut BCD tidak harus 90 derajat. Yang benar adalah segitiga yang dibentuk oleh jari-jari OB dan garis singgung CD di titik D akan tegak lurus, namun di sini kita tidak memiliki informasi tentang D yang bersentuhan dengan lingkaran selain sebagai titik akhir garis singgung. 

Kita perlu mengasumsikan bahwa garis singgung CD tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgung D. Namun, informasi yang diberikan adalah AC adalah perpanjangan diameter, dan CD adalah garis singgung. Ini mengindikasikan bahwa C adalah titik di luar lingkaran.

Perhatikan segitiga ABC. Karena AB adalah diameter, maka sudut ACB adalah sudut keliling yang menghadap diameter, sehingga sudut ACB = 90 derajat. Ini berarti segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di C. Namun, ini bertentangan dengan pernyataan bahwa AC adalah perpanjangan diameter.

Mari kita asumsikan gambar yang dimaksud adalah lingkaran dengan diameter AB. Titik C berada di perpanjangan AB. Titik D berada di luar lingkaran sehingga CD adalah garis singgung yang menyentuh lingkaran di suatu titik, katakanlah E. Namun, soal menyebutkan CD adalah garis singgung tanpa menyebutkan titik singgungnya. 

Jika kita menginterpretasikan bahwa C adalah titik di luar lingkaran dan CD adalah garis singgung ke lingkaran di titik D, dan AC adalah perpanjangan diameter AB (yang berarti A, B, C segaris), maka kita perlu informasi lebih lanjut atau gambar yang jelas.

Mari kita coba interpretasi lain: AC adalah garis yang melalui pusat O dan titik A, dan diperpanjang hingga C. AB adalah diameter. Jadi B adalah titik di seberang A pada lingkaran. CD adalah garis singgung di titik D. Ini tidak masuk akal jika C berada pada perpanjangan diameter AB.

Interpretasi yang paling mungkin adalah: AB adalah diameter. C adalah titik pada perpanjangan AB sedemikian rupa sehingga panjang AC diketahui. CD adalah garis singgung ke lingkaran di titik D.

Dalam hal ini, kita perlu menggunakan sifat garis singgung dan teorema Pythagoras. Jika CD adalah garis singgung ke lingkaran di titik D, maka jari-jari OD tegak lurus terhadap CD. Segitiga ODC adalah segitiga siku-siku di D.

Kita tahu jari-jari (r) = 8 cm. Jadi, OD = 8 cm.
Panjang OC = OA + AC = r + AC = 8 cm + 25 cm = 33 cm. (Ini jika C di luar, O di antara A dan B).
Atau, jika A, O, B, C segaris searah, maka OC = AC - OA = 25 cm - 8 cm = 17 cm (jika O antara A dan C).
Namun, AC adalah perpanjangan diameter AB. Ini berarti A, O, B segaris, dan C juga segaris dengan A dan O, serta B.

Jika A, O, B segaris, dan C di perpanjangan AB, maka:
Kasus 1: A - O - B - C. Maka OC = OB + BC. Atau OC = AC - OA. Jari-jari r = OA = OB = 8 cm. AC = 25 cm. Maka OC = AC - OA = 25 - 8 = 17 cm.
Dalam segitiga siku-siku ODC (siku-siku di D):
OC^2 = OD^2 + CD^2
17^2 = 8^2 + CD^2
289 = 64 + CD^2
CD^2 = 289 - 64
CD^2 = 225
CD = sqrt(225)
CD = 15 cm.

Kasus 2: C - A - O - B. Maka AC = 25 cm. AB = 16 cm. OC = OB + BC = 8 + (AC + AB) = 8 + 25 + 16 = 49. Atau OC = AC + AO = 25 + 8 = 33 cm. 
Dalam segitiga siku-siku ODC:
OC^2 = OD^2 + CD^2
33^2 = 8^2 + CD^2
1089 = 64 + CD^2
CD^2 = 1089 - 64
CD^2 = 1025
CD = sqrt(1025) = 5 * sqrt(41) cm.

Mengingat AB=16 cm dan AC=25 cm, dan AC adalah perpanjangan diameter AB, interpretasi yang paling masuk akal adalah bahwa titik C berada di luar segmen AB, dan A, O, B, C segaris dalam urutan tersebut (atau C, A, O, B). Jika C berada di perpanjangan AB setelah B, maka AC = AB + BC = 16 + BC = 25, sehingga BC = 9. Maka OC = OB + BC = 8 + 9 = 17 cm. Ini cocok dengan Kasus 1.

Jika A adalah titik awal diameter, O adalah pusat, B adalah titik akhir diameter, dan C adalah perpanjangan dari A melalui O ke B dan seterusnya, maka urutan A-O-B-C adalah yang paling logis jika AC = 25. Maka jarak dari pusat O ke C adalah OC = AC - AO = 25 - 8 = 17 cm. Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ODC (dimana OD adalah jari-jari dan tegak lurus CD), maka CD = 15 cm.