Pada kubus ABCD.EFGH, a adalah sudut anta-ra bidang ACF dan

Nilai sin α adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sin α pada kubus ABCD.EFGH, di mana α adalah sudut antara bidang ACF dan bidang ABCD, kita perlu melakukan beberapa langkah:

**1. Visualisasi Kubus dan Bidang:**
Bayangkan sebuah kubus dengan titik-titik sudut A, B, C, D di alas bawah dan E, F, G, H di alas atas, dengan E di atas A, F di atas B, G di atas C, dan H di atas D. Bidang ACF adalah bidang diagonal yang memotong kubus.

**2. Menentukan Garis Potong Bidang:**
*   Bidang ACF memotong bidang ABCD di garis AC.
*   Bidang ACF juga memotong bidang EFGH di garis EG.

**3. Menentukan Garis Proyeksi:**
Kita perlu mencari garis pada bidang ACF yang tegak lurus terhadap garis AC (garis potong kedua bidang). Garis ini adalah proyeksi bidang ACF pada bidang ABCD.

Dalam kubus, diagonal bidang BD tegak lurus terhadap diagonal bidang AC. Titik perpotongan kedua diagonal ini, sebut saja O, adalah titik tengah dari AC dan BD.

Perhatikan segitiga siku-siku AFC. Di sini, AF = FC = AC = diagonal bidang. Jadi, segitiga AFC adalah segitiga sama kaki.

Dalam segitiga AFC, jika kita menarik garis dari F tegak lurus ke AC, garis ini akan jatuh pada titik O (titik tengah AC) karena segitiga AFC adalah sama kaki. Jadi, FO tegak lurus AC.

Karena FO berada pada bidang ACF dan FO tegak lurus terhadap AC (garis perpotongan kedua bidang), maka FO adalah garis yang kita cari untuk menentukan sudut α.

**4. Menghitung Panjang Sisi yang Dibutuhkan:**
Misalkan panjang rusuk kubus adalah 's'.
*   Panjang diagonal bidang AC = s√2.
*   Panjang rusuk tegak AE = s.
*   Panjang garis FO: FO adalah tinggi dari segitiga sama kaki AFC. Dalam segitiga siku-siku AFO, AO = 1/2 * AC = (s√2)/2. Maka, FO² = AF² - AO² = (s√2)² - ((s√2)/2)² = 2s² - (2s²/4) = 2s² - s²/2 = (3/2)s². Jadi, FO = s√(3/2) = s√6 / 2.

**5. Menentukan Nilai Sin α:**
Sudut α adalah sudut antara garis FO (pada bidang ACF) dan garis AC (garis potong kedua bidang). Kita bisa melihat segitiga siku-siku FOC (atau FOA).

Dalam segitiga siku-siku FOC, siku-siku di O:
*   Sisi depan sudut α (yang kita ambil sebagai sudut di C, yaitu ∠FCO) adalah FO.
*   Sisi miring adalah FC.

Atau, kita bisa melihat segitiga siku-siku yang dibentuk oleh rusuk kubus, diagonal bidang, dan garis FO.

Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan definisi sinus dalam segitiga siku-siku yang relevan. Perhatikan segitiga siku-siku AFC, dengan siku-siku di F jika kita melihatnya dari perspektif lain, atau kita bisa fokus pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh FO, OC, dan FC.

Sudut α adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Kita bisa mengambil titik C pada garis AC. Proyeksi titik F pada bidang ABCD adalah titik F itu sendiri (jika bidang ABCD adalah alasnya). Namun, kita perlu sudut antara DUA bidang.

Mari kita perjelas sudut α. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut, dan kedua garis itu berada pada bidang yang berbeda. Garis potongnya adalah AC.

*   Garis pada bidang ABCD yang tegak lurus AC adalah BD. Titik O adalah perpotongannya.
*   Garis pada bidang ACF yang tegak lurus AC adalah FO (seperti yang dijelaskan di atas).

Jadi, sudut α adalah sudut ∠FOC.

Dalam segitiga siku-siku FOC (siku-siku di O):
*   Sisi depan sudut α (∠FOC) adalah OC = (s√2)/2.
*   Sisi samping sudut α adalah FO = s√6 / 2.
*   Sisi miring adalah FC = s√2.

Sin α = Sisi Depan / Sisi Miring = OC / FC = ((s√2)/2) / (s√2) = 1/2.

Jadi, nilai sin α = 1/2.

*(Catatan: Terkadang sudut α didefinisikan di titik A, yaitu ∠FAO. Dalam kasus ini, sin α = FO / AF = (s√6 / 2) / (s√2) = √3 / 2.)*

Berdasarkan konvensi umum untuk sudut antar bidang yang melibatkan diagonal, kita ambil sudut yang lebih kecil atau yang paling jelas terlihat dalam konteks soal seperti ini, yaitu yang melibatkan proyeksi tegak lurus.

Mari kita periksa kembali definisi sudut antar bidang. Sudut antara bidang ACF dan bidang ABCD adalah sudut antara garis AC (garis potong) dan garis yang tegak lurus AC di bidang ACF dan di bidang ABCD. Garis BD tegak lurus AC di bidang ABCD. Garis FO tegak lurus AC di bidang ACF. Maka sudutnya adalah ∠FOC.

Dalam segitiga siku-siku FOC:
Sin(∠FOC) = OC / FC
OC = setengah dari diagonal AC = 1/2 * s√2
FC = diagonal bidang = s√2
Sin(∠FOC) = (1/2 * s√2) / (s√2) = 1/2.

Jadi, nilai sin α = 1/2.