Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, titik P

Jarak PQ adalah 5 cm.

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P terletak pada diagonal HF dengan perbandingan HP:PF = 1:3. Titik Q terletak pada rusuk BC dengan perbandingan BQ:QC = 3:1.

Kita dapat menggunakan sistem koordinat untuk menyelesaikan masalah ini. Misalkan titik A berada di (0,0,0). Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
A = (0,0,0)
B = (4,0,0)
C = (4,4,0)
D = (0,4,0)
E = (0,0,4)
F = (4,0,4)
G = (4,4,4)
H = (0,4,4)

Titik P terletak pada HF. Vektor $\vec{HF}$ = F - H = (4,0,4) - (0,4,4) = (4, -4, 0).
Karena HP:PF = 1:3, maka P membagi HF dalam perbandingan 1:3. Panjang HF adalah $\sqrt{4^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
P = H + (1/4) $\vec{HF}$ = (0,4,4) + (1/4)(4, -4, 0) = (0,4,4) + (1, -1, 0) = (1, 3, 4).

Titik Q terletak pada BC. Vektor $\vec{BC}$ = C - B = (4,4,0) - (4,0,0) = (0, 4, 0).
Karena BQ:QC = 3:1, maka Q membagi BC dalam perbandingan 3:1.
Q = B + (3/4) $\vec{BC}$ = (4,0,0) + (3/4)(0, 4, 0) = (4,0,0) + (0, 3, 0) = (4, 3, 0).

Sekarang kita hitung jarak PQ menggunakan rumus jarak antara dua titik:
Jarak PQ = $\sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - 3)^2 + (0 - 4)^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{9 + 0 + 16}$
Jarak PQ = $\sqrt{25}$
Jarak PQ = 5 cm.