Pada kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk a cm, hitunglah:

$\frac{a\sqrt{3}}{3}$ cm

Pembahasan

Untuk menghitung jarak antara garis BD dan garis AH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 'a', kita perlu memahami posisi kedua garis tersebut dalam ruang.

Garis BD merupakan diagonal bidang alas ABCD.
Garis AH merupakan diagonal ruang yang menghubungkan sudut A pada bidang alas dengan sudut H pada bidang atas.

Kedua garis ini tidak sejajar dan tidak berpotongan, sehingga jarak antara keduanya adalah jarak antara dua garis bersilangan.

Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menggunakan sistem koordinat.
Asumsikan titik A berada di (0, 0, 0).
Karena panjang rusuk kubus adalah 'a', maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
B = (a, 0, 0)
C = (a, a, 0)
D = (0, a, 0)
E = (0, 0, a)
F = (a, 0, a)
G = (a, a, 0)
H = (0, a, a)

Garis BD dibentuk oleh titik B(a, 0, 0) dan D(0, a, 0).
Sebuah vektor arah untuk garis BD adalah $\vec{v}_{BD} = D - B = (0-a, a-0, 0-0) = (-a, a, 0)$.
Atau kita bisa menggunakan vektor $\vec{BD} = D - B = (-a, a, 0)$.
Persamaan garis BD dapat ditulis sebagai: $P(t) = B + t \vec{BD} = (a, 0, 0) + t(-a, a, 0) = (a - at, at, 0)$.

Garis AH dibentuk oleh titik A(0, 0, 0) dan H(0, a, a).
Sebuah vektor arah untuk garis AH adalah $\vec{v}_{AH} = H - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.
Atau kita bisa menggunakan vektor $\vec{AH} = H - A = (0, a, a)$.
Persamaan garis AH dapat ditulis sebagai: $Q(s) = A + s \vec{AH} = (0, 0, 0) + s(0, a, a) = (0, as, as)$.

Jarak antara dua garis bersilangan $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{u}$ dan $\vec{r} = \vec{b} + s\vec{v}$ diberikan oleh rumus:
$d = |(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})| / |\vec{u} \times \vec{v}|$

Dalam kasus kita:
$\vec{a} = B = (a, 0, 0)$
$\vec{u} = \vec{BD} = (-a, a, 0)$
$\vec{b} = A = (0, 0, 0)$
$\vec{v} = \vec{AH} = (0, a, a)$

$\vec{b} - \vec{a} = (0-a, 0-0, 0-0) = (-a, 0, 0)$

Hitung hasil kali silang $\vec{u} \times \vec{v}$:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -a & a & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix}$
$= i(a \cdot a - 0 \cdot a) - j((-a) \cdot a - 0 \cdot 0) + k((-a) \cdot a - a \cdot 0)$
$= i(a²) - j(-a²) + k(-a²)$
$= (a², a², -a²)$

Hitung besar dari hasil kali silang $|\vec{u} \times \vec{v}|$.
$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(a²)² + (a²)² + (-a²)²}$
$= \sqrt{a⁴ + a⁴ + a⁴}$
$= \sqrt{3a⁴}$
$= a²\sqrt{3}$

Hitung hasil kali titik $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:
$(-a, 0, 0) \cdot (a², a², -a²)$
$= (-a)(a²) + (0)(a²) + (0)(-a²)$
$= -a³$

Terakhir, hitung jaraknya:
$d = |-\vec{a}³| / (a²\sqrt{3})$
$d = a³ / (a²\sqrt{3})$
$d = a / \sqrt{3}$

Untuk merasionalkan penyebutnya, kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$:
$d = (a \sqrt{3}) / 3$

Jadi, jarak antara garis BD dengan garis AH adalah $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ cm.