Nilai maksimum dari fungsi sasaran z=8x+6y dengan syarat:

132

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi sasaran $z = 8x + 6y$ dengan syarat $4x + 2y \\le 60$, $2x + 4y \\le 48$, $x \\ge 0$, dan $y \\ge 0$, kita perlu menggunakan metode program linear, yaitu dengan mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan tersebut dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi sasaran.

Pertama, kita ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari garis:
1. $4x + 2y = 60 \\implies 2x + y = 30$
   - Jika $x=0$, maka $y=30$. Titik: (0, 30)
   - Jika $y=0$, maka $2x=30 \\implies x=15$. Titik: (15, 0)

2. $2x + 4y = 48 \\implies x + 2y = 24$
   - Jika $x=0$, maka $2y=24 \\implies y=12$. Titik: (0, 12)
   - Jika $y=0$, maka $x=24$. Titik: (24, 0)

Selanjutnya, kita cari titik potong antara kedua garis:
Dari $2x + y = 30$, kita dapatkan $y = 30 - 2x$.
Substitusikan ke $x + 2y = 24$:
$x + 2(30 - 2x) = 24$
$x + 60 - 4x = 24$
$-3x = 24 - 60$
$-3x = -36$
$x = 12$

Sekarang cari nilai y:
$y = 30 - 2x = 30 - 2(12) = 30 - 24 = 6$
Jadi, titik potongnya adalah (12, 6).

Karena $x \\ge 0$ dan $y \\ge 0$, maka titik-titik pojok yang memenuhi adalah:
- (0, 0)
- (15, 0) (dari garis pertama)
- (0, 12) (dari garis kedua)
- (12, 6) (titik potong kedua garis)

Sekarang, substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi sasaran $z = 8x + 6y$:
- Di (0, 0): $z = 8(0) + 6(0) = 0$
- Di (15, 0): $z = 8(15) + 6(0) = 120$
- Di (0, 12): $z = 8(0) + 6(12) = 72$
- Di (12, 6): $z = 8(12) + 6(6) = 96 + 36 = 132$

Nilai maksimum dari fungsi sasaran adalah 132.