Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. K adalah titik

2√3 cm

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik M ke garis KH pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, kita perlu menggunakan konsep jarak titik ke garis dalam ruang.

Diketahui:
Kubus ABCD.EFGH
Rusuk = 4 cm
K adalah titik potong kedua diagonal sisi alas (ABCD). K adalah pusat dari alas ABCD.
M adalah titik tengah BF.

Langkah 1: Tentukan koordinat titik-titik yang relevan.
Kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.
Misalkan A = (0, 0, 0).
Karena rusuknya 4 cm:
B = (4, 0, 0)
C = (4, 4, 0)
D = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 4)
F = (4, 0, 4)
G = (4, 4, 4)
H = (0, 4, 4)

Titik K adalah perpotongan diagonal AC dan BD. K adalah pusat alas ABCD.
Koordinat K = ((0+4)/2, (0+4)/2, 0) = (2, 2, 0).

Titik M adalah pertengahan BF.
Koordinat M = ((4+4)/2, (0+0)/2, (0+4)/2) = (4, 0, 2).

Kita perlu mencari jarak dari titik M(4, 0, 2) ke garis KH.

Langkah 2: Tentukan vektor arah garis KH.
Garis KH menghubungkan titik K(2, 2, 0) dan H(0, 4, 4).
Vektor KH = H - K = (0 - 2, 4 - 2, 4 - 0) = (-2, 2, 4).

Langkah 3: Gunakan rumus jarak titik ke garis dalam ruang.
Jarak dari titik P ke garis yang melalui titik A dengan vektor arah **v** adalah:
d = |**AP** x **v**| / |**v**|

Dalam kasus ini:
P = M = (4, 0, 2)
A = K = (2, 2, 0)
**v** = vektor KH = (-2, 2, 4)

Hitung vektor AP = P - A = M - K = (4 - 2, 0 - 2, 2 - 0) = (2, -2, 2).

Hitung hasil kali silang AP x **v**:
AP x **v** = (2, -2, 2) x (-2, 2, 4)
= | i    j    k   |
  | 2   -2   2   |
  |-2    2   4   |

= i((-2 * 4) - (2 * 2)) - j((2 * 4) - (2 * -2)) + k((2 * 2) - (-2 * -2))
= i(-8 - 4) - j(8 - (-4)) + k(4 - 4)
= i(-12) - j(8 + 4) + k(0)
= -12i - 12j + 0k
= (-12, -12, 0)

Hitung magnitudo dari AP x **v**:
|AP x **v**| = √((-12)^2 + (-12)^2 + 0^2)
= √(144 + 144 + 0)
= √(288)
= √(144 * 2)
= 12√2

Hitung magnitudo dari vektor arah **v** (KH):
|**v**| = |KH| = √((-2)^2 + 2^2 + 4^2)
= √(4 + 4 + 16)
= √(24)
= √(4 * 6)
= 2√6

Hitung jarak (d):
d = |AP x **v**| / |**v**|
d = (12√2) / (2√6)
d = 6 * (√2 / √6)
d = 6 * √(2/6)
d = 6 * √(1/3)
d = 6 / √3

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan √3/√3:
d = (6 / √3) * (√3 / √3)
d = (6√3) / 3
d = 2√3 cm

Jadi, jarak titik M ke garis KH adalah 2√3 cm.