Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm , titik

Jarak A ke D = 5 cm, Jarak A ke C = \( 5\sqrt{2} \) cm, Jarak P ke BF = 5 cm, Jarak P ke BD = \( \frac{5\sqrt{3}}{2} \) cm.

Pembahasan

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk \( a = 5 \) cm dan P adalah titik pertengahan rusuk CG.

a. Jarak titik A ke D:
Titik A dan D berada pada satu garis rusuk yang sama (AD). Oleh karena itu, jarak antara A dan D adalah panjang rusuk kubus. Jarak A ke D = \( a = 5 \) cm.

b. Jarak titik A ke C:
Jarak titik A ke C adalah panjang diagonal sisi alas ABCD. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC.
AC² = AB² + BC²
AC² = \( 5^2 + 5^2 \)
AC² = \( 25 + 25 \)
AC² = 50
AC = \( \sqrt{50} \) = \( 5\sqrt{2} \) cm.

c. Jarak titik P ke garis BF:
Titik P berada di tengah CG. Jarak P ke garis BF adalah jarak P ke garis yang sejajar dengan BF dan berada pada bidang yang sama dengan P dan BF. Perhatikan bidang BCGF. Garis BF sejajar dengan CG. Jarak P ke BF sama dengan jarak P ke BC atau P ke FG, atau sama dengan panjang rusuk AB atau DC, yaitu 5 cm. Namun, jika kita memproyeksikan P ke bidang ABFE, titik proyeksinya adalah titik tengah BF, sebut saja M. Maka PM adalah jaraknya. Karena P di tengah CG, maka PM sejajar BC dan FG, serta tegak lurus BF. Sehingga jarak P ke BF sama dengan panjang rusuk BC yaitu 5 cm.

d. Jarak titik P ke garis BD:
Untuk mencari jarak titik P ke garis BD, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga yang sesuai atau menggunakan konsep proyeksi. Misalkan kita ambil titik tengah O dari AC dan BD. Jarak P ke BD sama dengan jarak P ke garis BO (atau DO). Jarak PO adalah setengah dari diagonal ruang AG atau BH. Namun cara yang lebih mudah adalah dengan melihat proyeksi P ke bidang alas ABCD. Proyeksi P ke bidang alas adalah titik C. Jarak P ke garis BD sama dengan jarak C ke BD ditambah jarak P ke C sepanjang garis yang tegak lurus BD. Cara yang lebih tepat adalah menggunakan segitiga siku-siku PDB. Jarak P ke BD adalah panjang garis dari P yang tegak lurus BD. Titik di BD yang terdekat dengan P adalah titik tengah BD, sebut saja O. Jarak PO adalah setengah dari panjang diagonal ruang. Diagonal ruang BH = \( \sqrt{5^2+5^2+5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \). Maka PO = \( \frac{5\sqrt{3}}{2} \). Perhatikan segitiga POB. PB = \( \sqrt{BC^2 + CP^2} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2} = \sqrt{25 + 25/4} = \sqrt{125/4} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \).  Jarak P ke BD adalah garis tinggi dari P pada segitiga PBD ke sisi BD. Misal tinggi tersebut adalah h. Luas segitiga PBD = 1/2 * BD * h.  BD = \( 5\sqrt{2} \).  Segitiga PBD memiliki sisi PB = PD = \( \frac{5\sqrt{5}}{2} \) dan alas BD = \( 5\sqrt{2} \). Titik O adalah titik tengah BD. Segitiga POB siku-siku di O jika P berada di bidang yang sama dengan O dan tegak lurus BD. Namun P berada di atas bidang ABCD. Gunakan segitiga siku-siku POB', di mana B' adalah proyeksi P pada bidang alas yaitu C. Jarak PB' = PC = 5/2.  Jarak P ke garis BD dapat dihitung dengan mencari panjang garis dari P yang tegak lurus BD. Perhatikan segitiga siku-siku PDB. Panjang PD = \( \sqrt{DC^2 + CP^2} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2} = \sqrt{25 + 25/4} = \sqrt{125/4} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \). Panjang PB = \( \sqrt{BC^2 + CP^2} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2} = \sqrt{25 + 25/4} = \sqrt{125/4} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \).  Panjang BD = \( 5\sqrt{2} \). Segitiga PBD adalah segitiga sama kaki. Jarak P ke BD adalah tinggi segitiga dari P ke alas BD. Misalkan titik tengah BD adalah O. Maka PO adalah tinggi dari P ke BD pada bidang PDB.  Segitiga POC siku-siku di C, PC = 5/2, OC = \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \). Maka PO = \( \sqrt{PC^2 + OC^2} = \sqrt{(5/2)^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{25/4 + 50/4} = \sqrt{75/4} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \). Jarak P ke garis BD adalah \( \frac{5\sqrt{3}}{2} \) cm.