Pada segitiga OAB, titik E berada di tengah OB dan titik D

3:2

Pembahasan

Misalkan vektor posisi titik O adalah $\vec{0}$.
Diketahui vektor AD:vektor DB = 2:1, sehingga $\vec{OD} = \frac{1\vec{OA} + 2\vec{OB}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$.
Karena E di tengah OB, maka $\vec{OE} = \frac{1}{2}\vec{OB}$.
Misalkan $\vec{OP} = m \vec{OD}$ dan $\vec{OP} = \vec{OA} + n \vec{AE}$.
Maka $m(\frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}) = \vec{OA} + n(\vec{OE} - \vec{OA})$.
$\frac{m}{3}\vec{OA} + \frac{2m}{3}\vec{OB} = \vec{OA} + n(\frac{1}{2}\vec{OB} - \vec{OA})$.
$\frac{m}{3}\vec{OA} + \frac{2m}{3}\vec{OB} = (1-n)\vec{OA} + \frac{n}{2}\vec{OB}$.
Menyamakan koefisien $\vec{OA}$ dan $\vec{OB}$:
$\frac{m}{3} = 1-n$ (1)
$\frac{2m}{3} = \frac{n}{2}$ (2)
Dari persamaan (2), $n = \frac{4m}{3}$. Substitusikan ke persamaan (1):
$\frac{m}{3} = 1 - \frac{4m}{3}$
$\frac{m}{3} + \frac{4m}{3} = 1$
$\frac{5m}{3} = 1$
$m = \frac{3}{5}$.
Jadi, $\vec{OP} = \frac{3}{5}\vec{OD}$. Ini berarti perbandingan vektor OP:vektor OD adalah 3:5.
Karena $\vec{OP} = \frac{3}{5}\vec{OD}$, maka $\vec{PD} = \vec{OD} - \vec{OP} = \vec{OD} - \frac{3}{5}\vec{OD} = \frac{2}{5}\vec{OD}$.
Perbandingan vektor OP:vektor PD adalah $\vec{OP} : \vec{PD} = \frac{3}{5}\vec{OD} : \frac{2}{5}\vec{OD} = 3:2$.