Pada segitiga siku-siku samakaki A B C , sisi A B dan B C

(2x)/9 cm²

Pembahasan

Mari kita analisis soal ini langkah demi langkah.

Diketahui:
1. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku samakaki. Ini berarti sudut B adalah 90 derajat dan panjang sisi AB = BC.
2. Sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama.
   - Pada sisi AB, titik-titik pembaginya adalah K dan L. Jadi, AK = KL = LB.
   - Pada sisi BC, titik-titik pembaginya adalah M dan N. Jadi, BM = MN = NC.
3. Luas segitiga ABC adalah x cm².

Ditanya:
Luas segitiga KMN.

Strategi:
Kita akan mencari perbandingan luas segitiga KMN terhadap luas segitiga ABC. Karena segitiga ABC siku-siku di B, kita bisa menganggap AB sebagai alas dan BC sebagai tinggi (atau sebaliknya).

Misalkan panjang AB = BC = s.
Maka luas segitiga ABC = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * s * s = (1/2)s².
Jadi, x = (1/2)s².

Sekarang, mari kita tentukan panjang sisi-sisi yang relevan untuk segitiga KMN.
Karena AB terbagi 3 sama oleh K dan L, maka:
AK = KL = LB = s/3.
Karena BC terbagi 3 sama oleh M dan N, maka:
BM = MN = NC = s/3.

Perhatikan segitiga KBM.
Segitiga KBM adalah segitiga siku-siku di B.
Panjang alas KB = KL + LB = s/3 + s/3 = 2s/3.
Panjang tinggi BM = s/3.
Luas segitiga KBM = (1/2) * KB * BM = (1/2) * (2s/3) * (s/3) = (1/2) * (2s²/9) = s²/9.

Sekarang, kita perlu mencari luas segitiga KMN. Titik M dan N berada pada sisi BC. Titik K berada pada sisi AB.

Untuk mencari luas segitiga KMN, kita bisa menggunakan pendekatan:
Luas KMN = Luas ABC - Luas AKN - Luas KBM - Luas CMN (Ini kurang tepat karena KMN tidak terbentuk dari pengurangan ini).

Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan koordinat atau perbandingan luas.

Kita tahu Luas ABC = x.
Luas ABC = (1/2) * AB * BC = (1/2) * s * s = s²/2 = x.

Perhatikan segitiga KBM. Alasnya adalah KB = 2/3 AB, dan tingginya adalah BM = 1/3 BC. Luas KBM = (1/2) * (2/3 AB) * (1/3 BC) = (2/9) * (1/2 AB * BC) = (2/9) Luas ABC = (2/9)x.

Perhatikan segitiga KBN. Alasnya adalah KB = 2/3 AB, dan tingginya adalah BN = 2/3 BC. Luas KBN = (1/2) * (2/3 AB) * (2/3 BC) = (4/9) * (1/2 AB * BC) = (4/9) Luas ABC = (4/9)x.

Perhatikan segitiga AMN. Alasnya adalah AN = AB, dan tingginya adalah bagian dari BC. Ini juga rumit.

Mari kita gunakan perbandingan luas berdasarkan alas dan tinggi yang sama.

Segitiga ABC siku-siku di B. Luas = x = (1/2) AB * BC.

Titik K pada AB sehingga AK = KL = LB = AB/3.
Titik M, N pada BC sehingga BM = MN = NC = BC/3.

Perhatikan segitiga KBM.
Alas KB = 2/3 AB.
Tinggi BM = 1/3 BC.
Luas KBM = (1/2) * KB * BM = (1/2) * (2/3 AB) * (1/3 BC) = (2/9) * (1/2 AB * BC) = (2/9) Luas ABC = (2/9)x.

Perhatikan segitiga CMN.
Ini bukan segitiga yang kita cari.

Kita perlu mencari Luas KMN.
Titik K di AB, M dan N di BC.

Mari kita gunakan fakta bahwa segitiga ABC adalah samakaki.
Misalkan AB = BC = 3 satuan untuk memudahkan.
Luas ABC = (1/2) * 3 * 3 = 4.5 satuan persegi. Jadi x = 4.5.

Jika AB = 3, maka AK = KL = LB = 1.
Jika BC = 3, maka BM = MN = NC = 1.

Koordinat:
B = (0,0)
A = (0,3)
C = (3,0)

Titik K pada AB: K membagi AB dalam perbandingan 2:1 dari B ke A. K = (0, 2).
Titik L pada AB: L membagi AB dalam perbandingan 1:2 dari B ke A. L = (0, 1).

Titik M pada BC: M membagi BC dalam perbandingan 1:2 dari B ke C. M = (1,0).
Titik N pada BC: N membagi BC dalam perbandingan 2:1 dari B ke C. N = (2,0).

Kita perlu mencari luas segitiga KMN.
Koordinat K = (0, 2)
Koordinat M = (1, 0)
Koordinat N = (2, 0)

Kita bisa menggunakan rumus luas segitiga dengan koordinat:
Luas = (1/2) |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
Luas KMN = (1/2) |0(0 - 0) + 1(0 - 2) + 2(2 - 0)|
Luas KMN = (1/2) |0 + 1(-2) + 2(2)|
Luas KMN = (1/2) |-2 + 4|
Luas KMN = (1/2) |2|
Luas KMN = 1.

Kita tahu x = 4.5. Kita perlu mencari nilai k sehingga Luas KMN = k * x.
1 = k * 4.5
k = 1 / 4.5 = 1 / (9/2) = 2/9.

Jadi, Luas KMN = (2/9)x.

Mari kita verifikasi dengan cara lain.
Luas KBM = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * KB * BM
KB = AB - AK = s - s/3 = 2s/3.
BM = s/3.
Luas KBM = (1/2) * (2s/3) * (s/3) = s²/9.
Karena x = s²/2, maka s² = 2x.
Luas KBM = (2x)/9.

Perhatikan segitiga KBN.
Alas KB = 2s/3.
Tinggi BN = 2s/3.
Luas KBN = (1/2) * (2s/3) * (2s/3) = (1/2) * (4s²/9) = 2s²/9.
Dalam x: Luas KBN = 2(2x)/9 = 4x/9.

Perhatikan segitiga CMN.
Ini adalah bagian dari BC. Titik M dan N pada BC.

Mari kita gunakan fakta bahwa segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF.

Kembali ke segitiga KMN.
Dasar MN ada di BC. Panjang MN = BC/3 = s/3.
Tinggi segitiga KMN terhadap alas MN adalah jarak vertikal dari K ke garis BC. Karena K berada pada AB dan AB tegak lurus BC, jarak ini sama dengan panjang AB = s.

Luas KMN = (1/2) * alas MN * tinggi K ke BC.

Namun, K tidak berada pada garis AB yang tegak lurus BC jika kita membayangkan B sebagai titik asal. K berada pada segmen AB.

Jika B=(0,0), A=(0,s), C=(s,0).
K = (0, 2s/3).
M = (s/3, 0).
N = (2s/3, 0).

Luas KMN = (1/2) | 0(0-0) + (s/3)(0 - 2s/3) + (2s/3)(2s/3 - 0) |
Luas KMN = (1/2) | 0 + (s/3)(-2s/3) + (2s/3)(2s/3) |
Luas KMN = (1/2) | -2s²/9 + 4s²/9 |
Luas KMN = (1/2) | 2s²/9 |
Luas KMN = s²/9.

Kita tahu x = Luas ABC = (1/2) * s * s = s²/2.
Jadi, s² = 2x.

Mengganti s² dalam Luas KMN:
Luas KMN = (2x)/9.

Jadi, luas segitiga KMN adalah (2/9)x cm².

Mari kita periksa opsi jawaban:
(A) (x)/(3)
(B) (2 x)/(9)
(C) (x)/(9)
(D) (x)/(18)
(E) (x)/(36)

Jawaban yang sesuai adalah (B).