Pak Badrun hendak mengangkut 60 ton barang dari gudang ke
Pertanyaan
Pak Badrun hendak mengangkut 60 ton barang dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan itu, ia menyewa dua jenis truk, yaitu jenis I dengan kapasitas 3 ton dan jenis II dengan kapasitas 2 ton. Sewa setiap truk jenis I adalah Rp25.000,00 sekali jalan dan setiap sewa truk jenis II adalah Rp20.000,00 sekali jalan. Dengan cara sewa demikian, ia diharuskan menyewa truk itu sekurang-kurangnya 24 buah. Dimisalkan bahwa disewa truk jenis I sebanyak x dan truk jenis II sebanyak y. a. Buatlah model matematika (sistem a. pertidaksamaan linear dan fungsi objektif) untuk masalah program linear di atas. b. Gambarlah himpunan penyelesaian untuk bagian sistem pertidaksamaan. c. Tentukan koordinat titik pojok pada himpunan penyelesaian pada soal b). d. Hitunglah nilai fungsi objektif untuk tiap titik pojok yang Anda peroleh pada soal c) e. Dari hasil d), tentukan nilai minimum dari fungsi objektifnya.
Solusi
Minimum biaya sewa adalah Rp540.000,00 dengan menyewa 12 truk jenis I dan 12 truk jenis II.
Pembahasan
Berikut adalah penyelesaian masalah program linear yang dihadapi Pak Badrun: a. Model Matematika: Misalkan x adalah jumlah truk jenis I dan y adalah jumlah truk jenis II. Fungsi Objektif (meminimalkan biaya sewa): Z = 20000x + 25000y Kendala: 1. Kapasitas total barang: 2x + 3y >= 60 (karena total barang 60 ton, truk jenis I kapasitas 2 ton, truk jenis II kapasitas 3 ton) 2. Jumlah minimum truk: x + y >= 24 3. Non-negatif: x >= 0, y >= 0 b. Grafik Himpunan Penyelesaian: Untuk menggambar grafik, kita perlu mencari titik potong sumbu x dan y untuk setiap pertidaksamaan: Untuk 2x + 3y = 60: Jika x=0, maka 3y=60 -> y=20. Titik (0, 20) Jika y=0, maka 2x=60 -> x=30. Titik (30, 0) Untuk x + y = 24: Jika x=0, maka y=24. Titik (0, 24) Jika y=0, maka x=24. Titik (24, 0) Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi semua kendala, yaitu di atas garis 2x + 3y = 60 dan x + y = 24, serta di kuadran pertama (x>=0, y>=0). c. Koordinat Titik Pojok: Titik pojok didapat dari perpotongan garis-garis kendala: 1. Perpotongan sumbu y dengan 2x + 3y = 60: (0, 20) 2. Perpotongan sumbu y dengan x + y = 24: (0, 24) 3. Perpotongan sumbu x dengan 2x + 3y = 60: (30, 0) 4. Perpotongan sumbu x dengan x + y = 24: (24, 0) 5. Perpotongan antara 2x + 3y = 60 dan x + y = 24: Dari x + y = 24 -> x = 24 - y Substitusikan ke 2x + 3y = 60: 2(24 - y) + 3y = 60 48 - 2y + 3y = 60 y = 12 Maka, x = 24 - 12 = 12. Titik (12, 12) Namun, perlu diperhatikan bahwa titik (0,20) tidak memenuhi x+y>=24 karena 0+20 < 24. Titik (24,0) tidak memenuhi 2x+3y>=60 karena 2(24)+3(0) = 48 < 60. Jadi, titik pojok yang valid adalah: - Titik potong x+y=24 dengan sumbu y: (0, 24) - Titik potong 2x+3y=60 dengan sumbu x: (30, 0) - Titik potong antara 2x+3y=60 dan x+y=24: (12, 12) d. Nilai Fungsi Objektif untuk Tiap Titik Pojok: - Untuk (0, 24): Z = 20000(0) + 25000(24) = 0 + 600000 = Rp600.000,00 - Untuk (30, 0): Z = 20000(30) + 25000(0) = 600000 + 0 = Rp600.000,00 - Untuk (12, 12): Z = 20000(12) + 25000(12) = 240000 + 300000 = Rp540.000,00 e. Nilai Minimum Fungsi Objektif: Dari hasil perhitungan di atas, nilai minimum dari fungsi objektif adalah Rp540.000,00 yang diperoleh ketika Pak Badrun menyewa 12 truk jenis I dan 12 truk jenis II.
Buka akses pembahasan jawaban