Turunan pertama dari fungsi: f(x)=akar(1+cos^2(1/x)) adalah

Turunan pertama f(x)=akar(1+cos^2(1/x)) adalah sin(2/x) / (2 * x^2 * akar(1 + cos^2(1/x))).

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = akar(1 + cos^2(1/x)), kita akan menggunakan aturan rantai.
Misalkan u = 1 + cos^2(1/x).
Maka f(x) = akar(u) = u^(1/2).
df/du = (1/2) * u^(-1/2) = 1 / (2 * akar(u)) = 1 / (2 * akar(1 + cos^2(1/x))).

Sekarang kita cari turunan dari u terhadap x, yaitu du/dx.
Misalkan v = cos(1/x). Maka u = 1 + v^2.
du/dv = 2v.
dv/dx = turunan dari cos(1/x).
Misalkan w = 1/x = x^(-1). Maka v = cos(w).
dv/dw = -sin(w).
dw/dx = -1 * x^(-2) = -1/x^2.

Menggunakan aturan rantai untuk dv/dx:
dv/dx = dv/dw * dw/dx = -sin(w) * (-1/x^2) = -sin(1/x) * (-1/x^2) = (1/x^2) * sin(1/x).

Menggunakan aturan rantai untuk du/dx:
du/dx = du/dv * dv/dx = 2v * (1/x^2) * sin(1/x)
= 2 * cos(1/x) * (1/x^2) * sin(1/x)
= (2/x^2) * sin(1/x) * cos(1/x).
Kita bisa menggunakan identitas trigonometri 2 sin(A)cos(A) = sin(2A).
Jadi, du/dx = (1/x^2) * sin(2/x).

Akhirnya, kita cari df/dx menggunakan aturan rantai:
df/dx = df/du * du/dx
= [1 / (2 * akar(1 + cos^2(1/x)))] * [(1/x^2) * sin(2/x)]
= sin(2/x) / (2 * x^2 * akar(1 + cos^2(1/x)))