Panjang proyeksi garis EG pada bidang BDG dalam kubus

6 akar(2) cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Kita perlu mencari panjang proyeksi garis EG pada bidang BDG.

Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal ruang BG (atau diagonal sisi lainnya yang melewati titik B atau D).

Dalam kubus, semua rusuknya sama panjang, yaitu 6 cm.

Garis EG adalah diagonal sisi atas kubus. Panjang EG dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku EFG:
EG^2 = EF^2 + FG^2
EG^2 = 6^2 + 6^2
EG^2 = 36 + 36
EG^2 = 72
EG = Akar(72) = Akar(36 * 2) = 6 * Akar(2) cm.

Sekarang kita perlu mencari proyeksi EG pada bidang BDG. Perhatikan bahwa titik E dan G tidak terletak pada bidang BDG. Kita perlu mencari titik E' dan G' yang merupakan proyeksi E dan G pada bidang BDG.

Namun, ada cara yang lebih sederhana. Perhatikan bahwa garis EG sejajar dengan garis AC (keduanya diagonal persegi EFGH dan ABCD). Garis AC terletak pada bidang ABCD, dan bidang ABCD tidak sama dengan bidang BDG. 

Mari kita tinjau hubungan antara garis EG dan bidang BDG. Titik B, D, dan G mendefinisikan bidang tersebut. Diagonal BD terletak pada bidang alas ABCD. Diagonal BG adalah diagonal ruang.

Perhatikan bahwa garis EG sejajar dengan bidang ABCD. Jika kita memproyeksikan EG pada bidang BDG, kita perlu mencari jarak dari E dan G ke bidang BDG. Ini bisa menjadi rumit.

Mari kita pertimbangkan pendekatan lain dengan melihat simetri atau sifat-sifat geometrisnya. Garis EG adalah diagonal dari persegi EFGH. Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal ruang BG.

Perhatikan diagonal AC pada bidang alas ABCD. Garis AC sejajar dengan BD. Garis EG sejajar dengan AC. Karena AC sejajar dengan BD (yang merupakan bagian dari bidang BDG), maka EG juga sejajar dengan bidang BDG.

Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, maka panjang proyeksinya pada bidang tersebut adalah sama dengan panjang garis itu sendiri.

Jadi, panjang proyeksi garis EG pada bidang BDG adalah sama dengan panjang garis EG.

Panjang EG = 6 * Akar(2) cm.

Verifikasi: Bidang BDG adalah bidang yang dibentuk oleh titik B, D, dan G. Garis EG sejajar dengan garis AC. Garis AC berada pada bidang ABCD. Titik G berada di atas D, dan titik E berada di atas A. Diagonal BD berada pada bidang alas. Diagonal BG menghubungkan B ke G.

Karena EG sejajar dengan AC, dan AC membentuk sudut tertentu dengan BD, proyeksi EG pada bidang BDG akan bergantung pada sudut tersebut. 

Namun, jika kita memproyeksikan EG ke bidang yang mengandung BD, misalnya bidang ABCD, maka proyeksi EG adalah AC. Panjang AC = 6 * Akar(2).

Dalam kasus bidang BDG, perhatikan segitiga BDG. Garis EG sejajar dengan garis AC. Garis AC sejajar dengan BD. Jadi, EG sejajar dengan BD. Karena BD adalah bagian dari bidang BDG, maka EG sejajar dengan bidang BDG.

Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, panjang proyeksinya pada bidang tersebut sama dengan panjang garis itu sendiri.

Panjang EG = 6 * Akar(2) cm.