Panjang setiap rusuk bangun ruang empat sisi beraturan

8akar(2) cm

Pembahasan

Bangun ruang empat sisi beraturan T.ABC memiliki alas segitiga sama sisi ABC dan rusuk tegak TA, TB, TC. Diketahui panjang setiap rusuk adalah 16 cm. P adalah pertengahan AT, sehingga AP = PT = 16/2 = 8 cm. Q adalah pertengahan BC. Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka AQ adalah garis tinggi dan juga median. Panjang BC = 16 cm, maka BQ = QC = 16/2 = 8 cm. Dalam segitiga ABQ, AB=16 cm, BQ=8 cm, dan sudut AQB = 90 derajat. Panjang AQ dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: $AQ^2 = AB^2 - BQ^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192$. Jadi, $AQ = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3}$ cm.
Sekarang, kita tinjau segitiga ATQ. AT = 16 cm, AQ = $8\sqrt{3}$ cm. Sudut TAQ adalah sudut antara rusuk tegak dan alas. Karena T.ABC adalah bangun ruang empat sisi beraturan, TA = TB = TC = AB = BC = AC = 16 cm. Segitiga ABC sama sisi, sehingga sudut BAC = 60 derajat.
Kita perlu mencari panjang PQ. Gunakan segitiga AQC, Q adalah titik tengah BC. Pada segitiga ATQ, kita tahu AT = 16, AQ = $8\sqrt{3}$. Kita perlu mencari panjang PQ. P adalah pertengahan AT. Gunakan aturan kosinus pada segitiga ATQ untuk mencari cos(TAQ). Dalam segitiga ABC, gunakan aturan kosinus untuk mencari cos(BAC) yang merupakan sudut pada alas. Namun, kita perlu sudut di T. Kita dapat menggunakan segitiga TBC, TB=TC=BC=16, jadi ini adalah segitiga sama sisi. Sudut BTC = 60 derajat.
Cara yang lebih mudah adalah menggunakan vektor atau koordinat.
Misalkan A = (0, 0, 0).
Karena ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 16:
B = (16, 0, 0)
C = $(16 \cos(60^\circ), 16 \sin(60^\circ), 0) = (8, 8\sqrt{3}, 0)$
Titik T memiliki koordinat $(x_T, y_T, z_T)$. Jarak TA = 16, TB = 16, TC = 16.
$x_T^2 + y_T^2 + z_T^2 = 16^2 = 256$.
$(x_T-16)^2 + y_T^2 + z_T^2 = 16^2 
 x_T^2 - 32x_T + 256 + y_T^2 + z_T^2 = 256 
 256 - 32x_T + 256 = 256 
 256 - 32x_T = 0 
 x_T = 8$.
$(x_T-8)^2 + (y_T-8\sqrt{3})^2 + z_T^2 = 16^2
(8-8)^2 + (y_T-8\sqrt{3})^2 + z_T^2 = 256
(y_T-8\sqrt{3})^2 + z_T^2 = 256
y_T^2 - 16\sqrt{3}y_T + (8\sqrt{3})^2 + z_T^2 = 256
y_T^2 - 16\sqrt{3}y_T + 192 + z_T^2 = 256$. 
Kita tahu $x_T^2 + y_T^2 + z_T^2 = 256$, jadi $8^2 + y_T^2 + z_T^2 = 256 
 64 + y_T^2 + z_T^2 = 256 
 y_T^2 + z_T^2 = 192$. 
Substitusikan ke persamaan sebelumnya:
$192 - 16\sqrt{3}y_T + 192 = 256 
 384 - 16\sqrt{3}y_T = 256 
 16\sqrt{3}y_T = 384 - 256 = 128 
 y_T = 128 / (16\sqrt{3}) = 8 / \sqrt{3} = 8\sqrt{3} / 3$.
Sekarang cari $z_T$: $y_T^2 + z_T^2 = 192 
 (8\sqrt{3}/3)^2 + z_T^2 = 192 
 (64 \times 3)/9 + z_T^2 = 192 
 64/3 + z_T^2 = 192 
 z_T^2 = 192 - 64/3 = (576 - 64)/3 = 512/3 
 z_T = \sqrt{512/3} = \sqrt{256 \times 2 / 3} = 16\sqrt{2/3} = 16\sqrt{6}/3$.
Jadi, T = $(8, 8\sqrt{3}/3, 16\sqrt{6}/3)$.
P adalah pertengahan AT. A=(0,0,0), T=$(8, 8\sqrt{3}/3, 16\sqrt{6}/3)$.
P = $( (0+8)/2, (0+8\sqrt{3}/3)/2, (0+16\sqrt{6}/3)/2 ) = (4, 4\sqrt{3}/3, 8\sqrt{6}/3)$.
Q adalah pertengahan BC. B=(16,0,0), C=$(8, 8\sqrt{3}, 0)$.
Q = $( (16+8)/2, (0+8\sqrt{3})/2, (0+0)/2 ) = (12, 4\sqrt{3}, 0)$.
Sekarang hitung jarak PQ:
$PQ^2 = (12-4)^2 + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}/3)^2 + (0 - 8\sqrt{6}/3)^2$
$PQ^2 = 8^2 + ( (12\sqrt{3} - 4\sqrt{3})/3 )^2 + (-8\sqrt{6}/3)^2$
$PQ^2 = 64 + (8\sqrt{3}/3)^2 + (64 	imes 6)/9$
$PQ^2 = 64 + (64 	imes 3)/9 + 384/9$
$PQ^2 = 64 + 192/9 + 384/9$
$PQ^2 = 64 + 64/3 + 128/3$
$PQ^2 = 64 + 192/3$
$PQ^2 = 64 + 64 = 128$
$PQ = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$ cm.

Alternatif lain menggunakan geometri:
Dalam segitiga sama sisi ABC dengan sisi 16, AQ adalah tinggi, $AQ = 16 \sin(60^\circ) = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ cm. P adalah pertengahan AT. Tarik garis dari P sejajar dengan AB memotong AQ di titik S. Maka PS = 1/2 AB = 8 cm dan AS = 1/2 AQ = $4\sqrt{3}$ cm. Q adalah pertengahan BC. Titik Q berada pada alas ABC. P adalah pertengahan AT. 
Jika kita memproyeksikan PQ ke bidang alas ABC, kita akan mendapatkan garis dari P' (proyeksi P) ke Q. P' adalah titik tengah dari proyeksi A pada bidang alas. Proyeksi AT pada bidang alas tidak diketahui secara langsung. 

Coba gunakan teorema titik tengah pada bidang. Perhatikan bidang ATQ. AT=16, AQ=$8\sqrt{3}$. P pertengahan AT. Q pertengahan BC. Perlu hubungan antara Q dan bidang AT. Q berada pada BC.

Mari kita gunakan proyeksi. Proyeksi T ke bidang ABC adalah titik O, pusat segitiga ABC. Jarak AO = $2/3$ AQ = $2/3 	imes 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}/3$. Tinggi TO = $\sqrt{16^2 - AO^2} = \sqrt{256 - (256 \times 3)/9} = \sqrt{256 - 256/3} = \sqrt{512/3} = 16\sqrt{2/3} = 16\sqrt{6}/3$. 
P adalah pertengahan AT. Proyeksi P ke bidang ABC adalah P'. P' adalah pertengahan AO. AP' = $1/2$ AO = $8\sqrt{3}/3$. 
Q adalah pertengahan BC. Q berada pada alas ABC. Jarak OQ = $1/3$ AQ = $1/3 	imes 8\sqrt{3} = 8\sqrt{3}/3$. (Ini salah, OQ adalah apotema, $OQ = 1/3$ tinggi segitiga sama sisi). OQ = $1/3$ AQ = $8\sqrt{3}/3$. 
Jarak PQ dihitung dalam ruang 3D. Kita punya P' dan Q di bidang alas. P'=$(8\sqrt{3}/3, 0)$ jika A=(0,0). Q=$(4\sqrt{3}, 8)$ jika AQ sepanjang sumbu x. 
Ini menjadi rumit. Kembali ke vektor.

A=(0,0,0), B=(16,0,0), C=$(8, 8\sqrt{3}, 0)$.
T=$(8, 8\sqrt{3}/3, 16\sqrt{6}/3)$.
P = $(4, 4\sqrt{3}/3, 8\sqrt{6}/3)$.
Q = $(12, 4\sqrt{3}, 0)$.
$PQ^2 = (12-4)^2 + (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}/3)^2 + (0 - 8\sqrt{6}/3)^2$
$PQ^2 = 8^2 + (8\sqrt{3}/3)^2 + (-8\sqrt{6}/3)^2$
$PQ^2 = 64 + (64 	imes 3)/9 + (64 	imes 6)/9$
$PQ^2 = 64 + 192/9 + 384/9$
$PQ^2 = 64 + 64/3 + 128/3$
$PQ^2 = 64 + 192/3 = 64 + 64 = 128$
$PQ = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.