Penyelesaian dari persamaan (3x+7)&1/2 + (x+3)^(1/2) = 8

x = 6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \((3x+7)^{1/2} + (x+3)^{1/2} = 8\), kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Isolasi salah satu akar kuadrat:**
Pindahkan salah satu suku akar kuadrat ke sisi kanan persamaan:
\((3x+7)^{1/2} = 8 - (x+3)^{1/2}\)

2. **Kuadratkan kedua sisi:**
Kuadratkan kedua sisi persamaan untuk menghilangkan akar kuadrat pertama:
\(3x+7 = (8 - (x+3)^{1/2})^2\)
\(3x+7 = 64 - 16(x+3)^{1/2} + (x+3)\)
\(3x+7 = 64 - 16(x+3)^{1/2} + x+3\)

3. **Sederhanakan persamaan:**
Gabungkan suku-suku sejenis:
\(3x+7 = 67 + x - 16(x+3)^{1/2}\)

4. **Isolasi akar kuadrat yang tersisa:**
Pindahkan suku-suku yang tidak mengandung akar kuadrat ke sisi kiri:
\(3x - x + 7 - 67 = -16(x+3)^{1/2}\)
\(2x - 60 = -16(x+3)^{1/2}\)

5. **Bagi kedua sisi dengan -16:**
\((2x - 60) / -16 = (x+3)^{1/2}\)
\((-1/8)x + 15/4 = (x+3)^{1/2}\)

6. **Kuadratkan kedua sisi lagi:**
Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar kuadrat yang tersisa:
\(((-1/8)x + 15/4)^2 = x+3\)
\((1/64)x^2 - (15/16)x + 225/16 = x+3\)

7. **Susun menjadi persamaan kuadrat:**
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
\((1/64)x^2 - (15/16)x - x + 225/16 - 3 = 0\)
\((1/64)x^2 - (31/16)x + (225/16 - 48/16) = 0\)
\((1/64)x^2 - (31/16)x + 177/16 = 0\)

8. **Kalikan dengan 64 untuk menghilangkan pecahan:**
\(x^2 - 124x + 708 = 0\)

9. **Selesaikan persamaan kuadrat:**
Kita dapat menggunakan rumus kuadratik \(x = [-b ± \sqrt(b^2-4ac)] / 2a\) di mana a=1, b=-124, c=708.
\(x = [124 ± \sqrt((-124)^2 - 4*1*708)] / (2*1)\)
\(x = [124 ± \sqrt(15376 - 2832)] / 2\)
\(x = [124 ± \sqrt(12544)] / 2\)
\(x = [124 ± 112] / 2\)

Ini memberikan dua kemungkinan solusi:
\(x1 = (124 + 112) / 2 = 236 / 2 = 118\)
\(x2 = (124 - 112) / 2 = 12 / 2 = 6\)

10. **Verifikasi solusi:**
Kita perlu memeriksa apakah solusi ini memenuhi persamaan asli, karena pengkuadratan bisa memperkenalkan solusi asing.

*   **Untuk x = 6:**
    \((3*6+7)^{1/2} + (6+3)^{1/2} = (18+7)^{1/2} + 9^{1/2} = 25^{1/2} + 3 = 5 + 3 = 8\)
    Solusi x = 6 valid.

*   **Untuk x = 118:**
    \((3*118+7)^{1/2} + (118+3)^{1/2} = (354+7)^{1/2} + 121^{1/2} = 361^{1/2} + 11 = 19 + 11 = 30 \neq 8\)
    Solusi x = 118 tidak valid.

Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x = 6.