Penyelesaian dari pertidaksamaan (|x|-1)/(x+4)<=(x+1)

Himpunan penyelesaiannya adalah $[-5, -4) \cup [-1, \infty)$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{|x|-1}{x+4} \le (x+1)$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan nilai $|x|$ dan tanda penyebut $(x+4)$.

Kasus 1: $x \ge 0$
Dalam kasus ini, $|x| = x$. Pertidaksamaan menjadi:
$\frac{x-1}{x+4} \le x+1$

Kita pindahkan semua suku ke satu sisi:
$\frac{x-1}{x+4} - (x+1) \le 0$
$\frac{x-1 - (x+1)(x+4)}{x+4} \le 0$
$\frac{x-1 - (x^2 + 4x + x + 4)}{x+4} \le 0$
$\frac{x-1 - (x^2 + 5x + 4)}{x+4} \le 0$
$\frac{x-1 - x^2 - 5x - 4}{x+4} \le 0$
$\frac{-x^2 - 4x - 5}{x+4} \le 0$
$rac{-(x^2 + 4x + 5)}{x+4} \le 0$

Karena $x^2 + 4x + 5$ memiliki diskriminan $D = 4^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$, dan koefisien $x^2$ positif, maka $x^2 + 4x + 5$ selalu positif untuk semua $x$ real. Oleh karena itu, $-(x^2 + 4x + 5)$ selalu negatif.

Pertidaksamaan menjadi $\frac{\text{negatif}}{x+4} \le 0$. Agar hasil pembagian negatif atau nol, penyebut $(x+4)$ harus positif (karena pembilang negatif).
$x+4 > 0$
$x > -4$

Karena kita berada dalam kasus $x \ge 0$, irisan dari $x \ge 0$ dan $x > -4$ adalah $x \ge 0$.

Kasus 2: $x < 0$
Dalam kasus ini, $|x| = -x$. Pertidaksamaan menjadi:
$\frac{-x-1}{x+4} \le x+1$

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$\frac{-x-1}{x+4} - (x+1) \le 0$
$\frac{-x-1 - (x+1)(x+4)}{x+4} \le 0$
$\frac{-x-1 - (x^2 + 5x + 4)}{x+4} \le 0$
$\frac{-x-1 - x^2 - 5x - 4}{x+4} \le 0$
$\frac{-x^2 - 6x - 5}{x+4} \le 0$
$rac{-(x^2 + 6x + 5)}{x+4} \le 0$

Faktorkan $x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5)$.
$\frac{-(x+1)(x+5)}{x+4} \le 0$

Kalikan kedua sisi dengan -1 dan balikkan tanda pertidaksamaan:
$\frac{(x+1)(x+5)}{x+4} \ge 0$

Kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut:
$x+1 = 0 \implies x = -1$
$x+5 = 0 \implies x = -5$
$x+4 = 0 \implies x = -4$

Kita buat garis bilangan dengan titik-titik -5, -4, -1.

Uji interval:
- Jika $x < -5$ (misal $x=-6$): $\frac{(-)(-)}{(-)} = \frac{(+)}{(-)} = (-)$ (Tidak memenuhi $\ge 0$)
- Jika $-5 < x < -4$ (misal $x=-4.5$): $\frac{(-)(+)}{(-)} = \frac{(-)}{(-)} = (+)$ (Memenuhi $\ge 0$)
- Jika $-4 < x < -1$ (misal $x=-2$): $\frac{(-)(+)}{(+)} = \frac{(-)}{(+)} = (-)$ (Tidak memenuhi $\ge 0$)
- Jika $x > -1$ (misal $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = \frac{(+)}{(+)} = (+)$ (Memenuhi $\ge 0$)

Jadi, untuk kasus $x < 0$, solusi sementara adalah $-5 \le x < -4$ atau $x \ge -1$.

Kita perlu irisan dengan kondisi kasus $x < 0$. Irisan dari $[-5, -4) \cup [-1, \infty)$ dengan $x < 0$ adalah $[-5, -4) \cup [-1, 0)$.

Menggabungkan Hasil dari Kedua Kasus:
Kasus 1 ($x \ge 0$): $x \ge 0$
Kasus 2 ($x < 0$): $[-5, -4) \cup [-1, 0)$

Gabungan dari kedua kasus ini adalah $[-5, -4) \cup [0, \infty) \cup [-1, 0) = [-5, -4) \cup [-1, \infty)$.

Perlu diperhatikan bahwa penyebut $x+4$ tidak boleh nol, jadi $x \ne -4$. Titik $x=-1$ harus dimasukkan karena pertidaksamaan $\le$. Titik $x=-5$ harus dimasukkan karena penyebut tidak nol dan pembilang nol.

Solusi Akhir:
$[-5, -4) \cup [-1, \infty)$

Ini berarti $-5 \le x < -4$ atau $x \ge -1$.