Penyelesaian pertidaksamaan (2x^2-x+3)/(x^2-2x-3)>4 adalah

-3/2 < x < -1 atau 3 < x < 5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (2x^2-x+3)/(x^2-2x-3)>4, kita perlu memanipulasi pertidaksamaan tersebut agar semua suku berada di satu sisi.

(2x^2-x+3)/(x^2-2x-3) - 4 > 0

Samakan penyebutnya:
(2x^2-x+3 - 4(x^2-2x-3))/(x^2-2x-3) > 0
(2x^2-x+3 - 4x^2+8x+12)/(x^2-2x-3) > 0
(-2x^2+7x+15)/(x^2-2x-3) > 0

Kalikan kedua sisi dengan -1 dan balik tanda pertidaksamaan:
(2x^2-7x-15)/(x^2-2x-3) < 0

Sekarang, faktorkan pembilang dan penyebut:
Pembilang: 2x^2-7x-15
Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2*(-15) = -30 dan jika dijumlahkan menghasilkan -7. Bilangan tersebut adalah -10 dan 3.
2x^2 - 10x + 3x - 15 = 0
2x(x - 5) + 3(x - 5) = 0
(2x + 3)(x - 5) = 0
Jadi, akar pembilangnya adalah x = -3/2 dan x = 5.

Penyebut: x^2-2x-3
Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -3 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan tersebut adalah -3 dan 1.
(x - 3)(x + 1) = 0
Jadi, akar penyebutnya adalah x = 3 dan x = -1.

Sekarang kita memiliki pertidaksamaan:
((2x + 3)(x - 5))/((x - 3)(x + 1)) < 0

Periksa tanda pada interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut: -3/2, -1, 3, 5.

Interval 1: x < -3/2 (misal x = -2)
((2(-2)+3)(-2-5))/((-2-3)(-2+1)) = ((-1)(-7))/((-5)(-1)) = 7/5 > 0

Interval 2: -3/2 < x < -1 (misal x = -1.2)
((2(-1.2)+3)(-1.2-5))/((-1.2-3)(-1.2+1)) = ((0.6)(-6.2))/((-4.2)(-0.2)) = (-3.72)/(0.84) < 0

Interval 3: -1 < x < 3 (misal x = 0)
((2(0)+3)(0-5))/((0-3)(0+1)) = ((3)(-5))/((-3)(1)) = -15/-3 = 5 > 0

Interval 4: 3 < x < 5 (misal x = 4)
((2(4)+3)(4-5))/((4-3)(4+1)) = ((11)(-1))/((1)(5)) = -11/5 < 0

Interval 5: x > 5 (misal x = 6)
((2(6)+3)(6-5))/((6-3)(6+1)) = ((15)(1))/((3)(7)) = 15/21 > 0

Karena pertidaksamaan adalah < 0, maka penyelesaiannya adalah interval di mana hasilnya negatif.
Penyelesaiannya adalah -3/2 < x < -1 atau 3 < x < 5.