Perbandingan sudut-sudut sebuah segitiga ada!ah 3:4:5. Jika

4(sqrt(3) + 1) cm

Pembahasan

Diketahui perbandingan sudut-sudut sebuah segitiga adalah 3:4:5. Misalkan ketiga sudut tersebut adalah 3x, 4x, dan 5x.
Jumlah sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat. Maka:
3x + 4x + 5x = 180
12x = 180
x = 180 / 12
x = 15

Besar ketiga sudut tersebut adalah:
Sudut 1 = 3x = 3 * 15 = 45 derajat
Sudut 2 = 4x = 4 * 15 = 60 derajat
Sudut 3 = 5x = 5 * 15 = 75 derajat

Dalam sebuah segitiga, sisi yang berhadapan dengan sudut yang lebih besar akan memiliki panjang yang lebih besar pula. Sisi terpendek berhadapan dengan sudut terkecil (45 derajat), dan sisi terpanjang berhadapan dengan sudut terbesar (75 derajat).

Diketahui panjang sisi terpendeknya adalah 8 cm. Sisi terpendek berhadapan dengan sudut terkecil (45 derajat).

Kita dapat menggunakan hukum sinus untuk mencari panjang sisi terpanjang. Hukum sinus menyatakan bahwa perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut di hadapannya adalah konstan untuk semua sisi dalam segitiga:
a/sin A = b/sin B = c/sin C

Misalkan:
sisi terpendek = s1, berhadapan dengan sudut 45 derajat.
sisi terpanjang = s3, berhadapan dengan sudut 75 derajat.

Maka:
s1 / sin(45) = s3 / sin(75)

Kita tahu s1 = 8 cm.
8 / sin(45) = s3 / sin(75)

Nilai sin(45) = sqrt(2)/2.
Nilai sin(75) dapat dihitung menggunakan identitas sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
sin(75) = sin(45 + 30) = sin(45)cos(30) + cos(45)sin(30)
sin(75) = (sqrt(2)/2)(sqrt(3)/2) + (sqrt(2)/2)(1/2)
sin(75) = (sqrt(6)/4) + (sqrt(2)/4)
sin(75) = (sqrt(6) + sqrt(2)) / 4

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan hukum sinus:
8 / (sqrt(2)/2) = s3 / ((sqrt(6) + sqrt(2)) / 4)

8 * (2/sqrt(2)) = s3 * (4 / (sqrt(6) + sqrt(2)))
16 / sqrt(2) = 4s3 / (sqrt(6) + sqrt(2))

(16 * sqrt(2)) / 2 = 4s3 / (sqrt(6) + sqrt(2))
8 * sqrt(2) = 4s3 / (sqrt(6) + sqrt(2))

Sekarang, isolasi s3:
s3 = (8 * sqrt(2) * (sqrt(6) + sqrt(2))) / 4
s3 = 2 * sqrt(2) * (sqrt(6) + sqrt(2))
s3 = 2 * (sqrt(12) + sqrt(4))
s3 = 2 * (2*sqrt(3) + 2)
s3 = 4 * sqrt(3) + 4
s3 = 4(sqrt(3) + 1)

Nilai pendekatan: sqrt(3) sekitar 1.732
s3 = 4(1.732 + 1)
s3 = 4(2.732)
s3 = 10.928 cm

Jawaban yang lebih tepat adalah 4(sqrt(3) + 1) cm.