Perhatikan gambar balok berikut! Titik P merupakan

Jarak titik P ke bidang AFH adalah $\frac{plt}{\\\sqrt{l^2t^2 + p^2t^2 + p^2l^2}}$.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara titik P dan bidang AFH pada balok, kita perlu memahami posisi titik P dan bidang AFH.

Titik P adalah perpotongan antara diagonal AC dan BD pada alas balok ABCD. Ini berarti P adalah titik pusat dari persegi atau persegi panjang alas balok ABCD.

Bidang AFH dibentuk oleh titik-titik A, F, dan H. A adalah salah satu sudut alas, F adalah sudut atas yang berhadapan diagonal dengan A pada sisi atas, dan H adalah sudut atas yang berdekatan dengan F dan G.

Tanpa dimensi spesifik balok (panjang, lebar, tinggi), kita tidak dapat menghitung jarak secara numerik. Namun, kita bisa menjelaskan konsepnya.

Misalkan panjang balok = $p$, lebar = $l$, dan tinggi = $t$.
Jika kita letakkan balok dalam sistem koordinat:
A = (0, 0, 0)
B = ($p$, 0, 0)
C = ($p$, $l$, 0)
D = (0, $l$, 0)
E = (0, 0, $t$)
F = ($p$, 0, $t$)
G = ($p$, $l$, $t$)
H = (0, $l$, $t$)

Titik P adalah titik tengah diagonal AC. Koordinat P = $(rac{0+p}{2}, rac{0+l}{2}, rac{0+0}{2}) = (rac{p}{2}, rac{l}{2}, 0)$.

Bidang AFH melewati titik A(0,0,0), F($p$,0,$t$), dan H(0,$l$,$t$).

Untuk menghitung jarak titik P ke bidang AFH, kita perlu menentukan persamaan bidang AFH terlebih dahulu. Persamaan bidang yang melalui titik $(x_0, y_0, z_0)$ dengan vektor normal $egin{pmatrix} A \ B \ C \\\end{pmatrix}$ adalah $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Vektor $egin{pmatrix} AF \\	ext{pmatrix}} = egin{pmatrix} p \ 0 \ t \\	ext{pmatrix}}$.
Vektor $egin{pmatrix} AH \\	ext{pmatrix}} = egin{pmatrix} 0 \ l \ t \\	ext{pmatrix}}$.

Vektor normal bidang AFH dapat dicari dengan perkalian silang $egin{pmatrix} AF \\	ext{pmatrix}} 	imes egin{pmatrix} AH \\	ext{pmatrix}}$:
$egin{vmatrix} 	extbf{i} & 	extbf{j} & 	extbf{k} \ p & 0 & t \ 0 & l & t \\	ext{vmatrix}} = 	extbf{i}(0 - lt) - 	extbf{j}(pt - 0) + 	extbf{k}(pl - 0) = -lt 	extbf{i} - pt 	extbf{j} + pl 	extbf{k}$

Jadi, vektor normalnya adalah $egin{pmatrix} -lt \ -pt \ pl \\	ext{pmatrix}}$.

Persamaan bidang AFH yang melalui A(0,0,0) adalah: $-lt(x-0) - pt(y-0) + pl(z-0) = 0$, atau $-ltx - pty + plz = 0$.

Jarak dari titik $(x_1, y_1, z_1)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah $rac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Jarak dari P$(rac{p}{2}, rac{l}{2}, 0)$ ke bidang $-ltx - pty + plz = 0$ adalah:
Jarak = $rac{|(-lt)(rac{p}{2}) + (-pt)(rac{l}{2}) + (pl)(0)|}{\\\sqrt{(-lt)^2 + (-pt)^2 + (pl)^2}}$
Jarak = $rac{|-rac{plt}{2} - rac{plt}{2}|}{\\\sqrt{l^2t^2 + p^2t^2 + p^2l^2}}$
Jarak = $rac{|-plt|}{\\\sqrt{l^2t^2 + p^2t^2 + p^2l^2}}$
Jarak = $rac{plt}{\\\sqrt{l^2t^2 + p^2t^2 + p^2l^2}}$

Karena tidak ada dimensi yang diberikan, jawaban akhirnya adalah rumus ini. Jika ini adalah kubus (p=l=t=s), maka jaraknya adalah $rac{s^3}{\\\sqrt{3s^4}} = rac{s^3}{s^2\
e c{\sqrt{3}}} = rac{s}{\
e c{\sqrt{3}}} = rac{s\
e c{\sqrt{3}}}{3}$.