Perhatikan gambar berikut. A B Gambar di atas adalah dua

Luas daerah yang diarsir adalah (2/3)πr^2 - (√3/2)r^2

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang diarsir, kita perlu memahami bagaimana kedua lingkaran beririsan dan saling melalui titik pusat satu sama lain.

Misalkan kedua lingkaran memiliki jari-jari yang sama, yaitu 'r'. Kedua lingkaran saling beririsan dan masing-masing melalui titik pusat lingkaran lainnya.

Daerah yang diarsir adalah irisan dari kedua lingkaran tersebut. Luas irisan dua lingkaran yang berjari-jari sama (r) dan jarak antara pusatnya (d) adalah sama dengan jari-jari (r) adalah:
Luas Irisan = 2 * Luas Juring - Luas Segitiga

Dalam kasus ini, karena setiap lingkaran melalui pusat lingkaran lainnya, sudut pada sektor yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan pusat kedua lingkaran dan titik potongnya adalah 120 derajat atau 2π/3 radian. Ini karena segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan garis penghubung pusat adalah sama sisi (ketiga sisinya adalah r).

Luas Juring = (θ/360) * π * r^2
Di mana θ adalah sudut pusat dalam derajat. Dalam kasus ini, segitiga yang dibentuk oleh dua pusat lingkaran dan satu titik potong adalah segitiga sama sisi, sehingga sudut di pusat masing-masing lingkaran adalah 60 derajat. Namun, area yang diarsir dibentuk oleh dua segmen lingkaran. Sudut yang relevan untuk menghitung luas juring yang membentuk area yang diarsir adalah sudut yang dibentuk oleh dua titik potong dan pusat lingkaran tersebut.

Karena setiap lingkaran melalui pusat lingkaran lainnya, jarak antara kedua pusat adalah r. Segitiga yang dibentuk oleh kedua pusat dan salah satu titik potong adalah segitiga sama sisi dengan sisi r. Oleh karena itu, sudut yang dibentuk di pusat masing-masing lingkaran oleh garis ke titik potong adalah 60 derajat.

Namun, untuk daerah yang diarsir, kita melihat bahwa area yang diarsir terdiri dari dua segmen lingkaran. Luas setiap segmen adalah luas juring dikurangi luas segitiga.

Luas Juring = (120/360) * π * r^2 = (1/3) * π * r^2
Luas Segitiga = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * r * (r * sin(60))? Tidak.

Cara yang lebih sederhana: Luas daerah yang diarsir adalah jumlah dari dua 'lens' (irisan). Masing-masing 'lens' dapat dilihat sebagai dua kali luas segmen lingkaran. Segmen lingkaran adalah luas juring dikurangi luas segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur.

Dalam kasus ini, setiap lingkaran melalui pusat lingkaran lain. Jika kita perhatikan satu lingkaran, dua titik potong dan pusat lingkaran lainnya membentuk segitiga sama sisi dengan sisi 'r'. Sudut di pusat lingkaran adalah 60 derajat. Namun, area yang diarsir adalah area yang dibentuk oleh busur yang lebih besar.

Mari kita gunakan pendekatan yang benar untuk irisan dua lingkaran.
Luas irisan dua lingkaran berjari-jari r dengan jarak antar pusat d:
Jika d=0 (berimpit), Luas = πr^2
Jika d=r (saling melalui pusat), maka luas daerah yang diarsir (irisan) adalah:
Luas Irisan = 2 * Luas Juring - Luas Dua Segitiga
Sudut juringnya adalah 120 derajat.

Luas Juring = (120/360) * π * r^2 = (1/3) * π * r^2
Luas Segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur (garis hubung titik potong) adalah:
Luas Segitiga = (1/2) * r * r * sin(120) = (1/2) * r^2 * (√3/2) = (√3/4) * r^2

Luas satu segmen = Luas Juring - Luas Segitiga
Luas satu segmen = (1/3) * π * r^2 - (√3/4) * r^2

Daerah yang diarsir adalah dua kali luas segmen ini:
Luas Daerah Diarsir = 2 * [(1/3) * π * r^2 - (√3/4) * r^2]
Luas Daerah Diarsir = (2/3) * π * r^2 - (√3/2) * r^2
Luas Daerah Diarsir = r^2 * ( (2/3)π - (√3/2) )

Namun, jika kita melihat gambar, daerah yang diarsir adalah dua kali luas satu 'petal' yang dibentuk oleh irisannya.

Jika kita perhatikan salah satu lingkaran, area yang diarsir di dalamnya adalah dua kali luas segmen lingkaran. Tali busur yang membatasi segmen tersebut adalah garis yang menghubungkan kedua titik potong. Jarak antara kedua pusat adalah r. Segitiga yang dibentuk oleh kedua pusat dan salah satu titik potong adalah segitiga sama sisi (sisi r, r, r). Sudut di pusat lingkaran adalah 60 derajat.

Luas juring yang lebih kecil adalah (60/360) * π * r^2 = (1/6) * π * r^2.
Luas segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur adalah (1/2) * r * r * sin(60) = (1/2) * r^2 * (√3/2) = (√3/4) * r^2.
Luas segmen yang lebih kecil adalah (1/6) * π * r^2 - (√3/4) * r^2.

Luas daerah yang diarsir adalah dua kali luas juring yang lebih besar dikurangi luas dua segitiga yang tumpang tindih.

Cara lain: Luas daerah yang diarsir adalah 2/3 dari luas satu lingkaran. Jika kita perhatikan salah satu lingkaran, daerah yang tidak diarsir di dalamnya adalah dua segmen kecil.

Mari kita fokus pada satu lingkaran. Titik pusat lingkaran lain terletak pada keliling lingkaran ini. Garis yang menghubungkan dua titik potong adalah tali busur. Segitiga yang dibentuk oleh kedua pusat dan satu titik potong adalah segitiga sama sisi (sisi r). Oleh karena itu, sudut pada pusat lingkaran oleh garis ke titik potong adalah 60 derajat.

Luas juring dengan sudut 60 derajat = (60/360) * π * r^2 = (1/6) π r^2.
Luas segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur (menghubungkan titik potong) = (1/2) * r * r * sin(60) = (√3/4) r^2.
Luas segmen lingkaran (area di luar segitiga tapi di dalam juring) = (1/6) π r^2 - (√3/4) r^2.

Daerah yang tidak diarsir di dalam satu lingkaran adalah dua segmen ini.
Luas yang tidak diarsir di satu lingkaran = 2 * [(1/6) π r^2 - (√3/4) r^2] = (1/3) π r^2 - (√3/2) r^2.

Luas satu lingkaran = π r^2.
Luas daerah yang diarsir di dalam satu lingkaran = Luas Lingkaran - Luas yang tidak diarsir di dalamnya
= π r^2 - [(1/3) π r^2 - (√3/2) r^2]
= π r^2 - (1/3) π r^2 + (√3/2) r^2
= (2/3) π r^2 + (√3/2) r^2.

Ini adalah luas irisan jika kita hanya menghitung dari satu sisi. Namun, daerah yang diarsir adalah irisan kedua lingkaran tersebut.

Luas daerah yang diarsir adalah jumlah dua segmen yang lebih besar. Sudut yang dibentuk oleh dua titik potong di pusat lingkaran adalah 120 derajat (karena segitiga yang dibentuk oleh dua pusat dan titik potong adalah sama sisi, sudut di pusat adalah 60, dan busur yang digunakan untuk daerah diarsir adalah busur mayor).

Luas Juring dengan sudut 120 derajat = (120/360) * π * r^2 = (1/3) π r^2.
Luas Segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur (garis antar titik potong) = (1/2) * r * r * sin(120) = (1/2) * r^2 * (√3/2) = (√3/4) r^2.
Luas Segmen = Luas Juring - Luas Segitiga = (1/3) π r^2 - (√3/4) r^2.

Daerah yang diarsir adalah dua kali luas segmen ini:
Luas Daerah Diarsir = 2 * [(1/3) π r^2 - (√3/4) r^2]
Luas Daerah Diarsir = (2/3) π r^2 - (√3/2) r^2
Luas Daerah Diarsir = r^2 * ( (2/3)π - (√3/2) ).

Ini adalah jawaban yang benar untuk luas irisan dua lingkaran yang berjari-jari sama dan saling melalui pusatnya.

Namun, jika soal ini berasal dari konteks ujian pilihan ganda, seringkali ada penyederhanaan atau interpretasi lain.

Perhatikan bahwa luas daerah yang diarsir pada gambar adalah dua 'petal' yang saling beririsan.

Jika kita perhatikan satu lingkaran, daerah yang diarsir di dalamnya adalah dua kali luas segmen yang dibentuk oleh tali busur yang menghubungkan kedua titik potong.

Luas satu lingkaran = πr^2.
Luas daerah yang tidak diarsir di satu lingkaran = 2 * Luas segmen kecil.
Luas segmen kecil = Luas juring 60 derajat - Luas segitiga 60 derajat
= (1/6)πr^2 - (√3/4)r^2.

Luas daerah yang diarsir dalam satu lingkaran = πr^2 - 2 * [(1/6)πr^2 - (√3/4)r^2]
= πr^2 - (1/3)πr^2 + (√3/2)r^2
= (2/3)πr^2 + (√3/2)r^2.

Ini adalah luas irisan jika dihitung dari satu sisi. Tapi gambar menunjukkan area total dari kedua irisan.

Luas daerah yang diarsir adalah irisan dari kedua lingkaran. Luas irisan ini dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama oleh garis yang menghubungkan kedua pusat. Masing-masing bagian adalah segmen lingkaran yang dibentuk oleh tali busur yang menghubungkan kedua titik potong.

Sudut yang dibentuk oleh dua titik potong di pusat lingkaran adalah 120 derajat.
Luas Juring (120 derajat) = (120/360) * πr^2 = (1/3)πr^2.
Luas Segitiga = (1/2) * r * r * sin(120) = (√3/4)r^2.
Luas Segmen = (1/3)πr^2 - (√3/4)r^2.

Luas daerah yang diarsir (total irisan) = 2 * Luas Segmen = 2 * [(1/3)πr^2 - (√3/4)r^2] = (2/3)πr^2 - (√3/2)r^2.

Jika kita menganggap soal ini sebagai soal yang lebih sederhana, terkadang ada interpretasi yang mengarah pada jawaban yang lebih umum.

Misalnya, jika kita perhatikan salah satu lingkaran, luas area yang tidak diarsir di dalamnya adalah dua segmen lingkaran kecil. Masing-masing segmen kecil ini dibatasi oleh tali busur yang menghubungkan titik pusat lingkaran lain ke titik potong.

Namun, berdasarkan gambar dan deskripsi (dua lingkaran berjari-jari sama, saling beririsan dan saling melalui titik pusat), luas daerah yang diarsir adalah irisan dari kedua lingkaran.

Jawaban yang paling tepat adalah r^2 * ( (2/3)π - (√3/2) ).

Jika kita harus memilih dari opsi yang umum, mungkin ada kesalahan dalam pertanyaan atau opsi jawaban yang disediakan.

Mari kita tinjau kembali gambar tersebut. Gambar tersebut menunjukkan dua 'lens' atau bentuk seperti mata yang tumpang tindih. Luas total dari kedua 'lens' ini adalah yang diarsir.

Luas satu 'lens' = Luas Juring - Luas Segitiga.
Sudut yang relevan adalah 120 derajat (2π/3 radian).
Luas Juring = (120/360) * πr^2 = (1/3)πr^2.
Luas Segitiga = (1/2)r^2 sin(120) = (√3/4)r^2.

Luas satu 'lens' = (1/3)πr^2 - (√3/4)r^2.

Luas total yang diarsir = 2 * Luas satu 'lens' = 2 * [(1/3)πr^2 - (√3/4)r^2]
= (2/3)πr^2 - (√3/2)r^2.

Jika soal ini meminta ekspresi dalam r, maka ini jawabannya.

Tanpa pilihan jawaban, sulit untuk menentukan apakah ada penyederhanaan atau pendekatan lain yang diharapkan.

Namun, jika kita melihat komposisi area, luas daerah yang diarsir adalah sama dengan luas satu lingkaran ditambah luas dua segmen di luarnya, atau luas dua juring 120 derajat dikurangi dua kali luas segitiga.

Luas Juring 120 = (1/3)πr^2.
Luas Segitiga 120 = (√3/4)r^2.

Luas daerah yang diarsir = 2 * Luas Juring 120 - Luas Tumpang Tindih Segitiga

Jika kita jumlahkan luas kedua lingkaran, kita akan mendapatkan 2πr^2. Area irisan dihitung dua kali. Maka, Luas Gabungan = Luas Lingkaran 1 + Luas Lingkaran 2 - Luas Irisan.

Luas daerah yang diarsir = Luas irisan kedua lingkaran.

Jawaban matematisnya adalah r^2 * ( (2/3)π - (√3/2) ).

Jika ada pilihan jawaban seperti (2/3)πr^2, itu akan menjadi jawaban yang mendekati jika √3/2 diabaikan, yang tidak tepat.

Seringkali dalam soal semacam ini, jawabannya adalah dalam bentuk yang lebih sederhana jika konteksnya adalah ujian sekolah dasar atau menengah.

Perhatikan bahwa luas daerah yang diarsir adalah sama dengan luas satu lingkaran ditambah dua segmen yang menonjol keluar dari irisan tersebut.

Luas satu lingkaran = πr^2.
Luas daerah yang diarsir = Luas satu lingkaran + 2 * Luas segmen kecil.
Luas segmen kecil = (1/6)πr^2 - (√3/4)r^2.

Luas daerah yang diarsir = πr^2 + 2 * [(1/6)πr^2 - (√3/4)r^2]
= πr^2 + (1/3)πr^2 - (√3/2)r^2
= (4/3)πr^2 - (√3/2)r^2.

Ini juga tidak sesuai.

Jawaban yang paling konsisten dengan geometri irisan dua lingkaran yang berjari-jari sama dan saling melalui pusat adalah:
Luas = (2/3)πr^2 - (√3/2)r^2.