Perhatikan gambar berikut.Berapa banyak urutan 5 gambar

a. 120 cara, b. 240 cara.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan permutasi, yaitu menghitung banyaknya cara menyusun objek.

Kita memiliki 5 gambar yang berbeda yang akan digantung dalam sebuah garis.

a. Jika 1 gambar secara khusus diletakkan di tengah-tengah (pusat):
   - Ada 5 posisi yang tersedia untuk digantung.
   - Posisi tengah adalah posisi ke-3.
   - Karena 1 gambar harus di posisi tengah, maka ada 1 pilihan untuk gambar yang diletakkan di posisi ke-3.
   - Setelah 1 gambar ditempatkan di tengah, tersisa 4 gambar dan 4 posisi (posisi 1, 2, 4, 5).
   - Banyaknya cara untuk menyusun 4 gambar yang tersisa di 4 posisi yang tersisa adalah permutasi dari 4 objek, yaitu 4! (4 faktorial).
   - 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
   - Jadi, banyaknya urutan 5 gambar jika 1 gambar harus di tengah adalah 1 × 4! = 24 cara.

b. Jika 1 gambar secara khusus diletakkan di salah satu ujung (tepi):
   - Ada 2 posisi ujung: posisi pertama atau posisi kelima.
   - Pertama, kita pilih gambar mana yang akan diletakkan di ujung. Ada 5 pilihan gambar.
   - Kedua, kita pilih posisi ujung mana yang akan ditempati gambar tersebut. Ada 2 pilihan posisi ujung (awal atau akhir).
   - Jadi, ada 5 × 2 = 10 cara untuk memilih gambar dan menempatkannya di salah satu ujung.
   - Setelah 1 gambar ditempatkan di salah satu ujung, tersisa 4 gambar dan 4 posisi yang tersisa (3 posisi di tengah dan 1 posisi ujung yang kosong).
   - Banyaknya cara untuk menyusun 4 gambar yang tersisa di 4 posisi yang tersisa adalah permutasi dari 4 objek, yaitu 4!.
   - 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
   - Jadi, total banyaknya urutan adalah (banyaknya cara memilih dan menempatkan gambar di ujung) × (banyaknya cara menyusun sisa gambar).
   - Total cara = (5 pilihan gambar × 2 pilihan posisi ujung) × 4!
   - Total cara = 10 × 24 = 240 cara.

Alternatif untuk bagian b:
   - Pilih 1 gambar dari 5 untuk diletakkan di ujung: C(5, 1) = 5 cara.
   - Pilih posisi ujung untuk gambar tersebut: C(2, 1) = 2 cara.
   - Susun 4 gambar yang tersisa di 4 posisi yang tersisa: P(4, 4) = 4! = 24 cara.
   - Total = 5 * 2 * 24 = 240 cara.

Atau cara lain:
   - Pilih 1 gambar untuk posisi ujung (5 cara).
   - Pilih posisi ujung (2 cara).
   - Susun sisa 4 gambar di sisa 4 posisi (4! cara).
   - Total = 5 * 2 * 4! = 10 * 24 = 240 cara.

Jika maksud soal adalah 'Berapa banyak urutan 5 gambar yang berbeda dapat digantung dalam sebuah garis sehingga *salah satu* gambar secara khusus diletakkan pada:

a. tengah-tengah (pusat):
   Ini berarti kita memilih 1 gambar dari 5 untuk diletakkan di tengah (5 cara), lalu menyusun 4 gambar sisanya di 4 posisi lainnya (4! cara). Jadi, 5 * 4! = 5 * 24 = 120 cara.

b. salah satu ujung (tepi):
   Ini berarti kita memilih 1 gambar dari 5 untuk diletakkan di ujung depan (5 cara), lalu menyusun 4 gambar sisanya di 4 posisi lainnya (4! cara). Jadi, 5 * 4! = 120 cara. ATAU kita memilih 1 gambar dari 5 untuk diletakkan di ujung belakang (5 cara), lalu menyusun 4 gambar sisanya di 4 posisi lainnya (4! cara). Jadi, 5 * 4! = 120 cara. Totalnya 120 + 120 = 240 cara.