Perhatikan gambar berikut! C 45 30 A B Dua orang mulai

Dengan asumsi sudut A=30° dan B=45° (terbalik dari gambar), kecepatan orang dari A adalah akar(2) kali kecepatan orang yang dari B.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan perbandingan kecepatan berdasarkan jarak tempuh dan waktu tempuh yang sama untuk mencapai titik C.

Misalkan:
Jarak AC = d1
Jarak BC = d2
Kecepatan orang dari A = vA
Kecepatan orang dari B = vB
Waktu tempuh = t (karena keduanya sampai pada saat yang sama)

Dari gambar, kita bisa melihat segitiga siku-siku ABC dengan sudut A = 45 derajat dan sudut B = 30 derajat. Sudut di C adalah 180 - 45 - 30 = 105 derajat.
Namun, untuk soal ini, kita perlu menggunakan aturan sinus pada segitiga ABC.

Misalkan panjang sisi BC = a, AC = b, dan AB = c.
Kita asumsikan jarak AB = c adalah suatu nilai tertentu, misalnya c = 1 satuan.

Menurut aturan sinus:
a / sin A = b / sin B = c / sin C

Kita perlu mencari hubungan antara jarak AC (b) dan jarak BC (a).
Kita bisa gunakan informasi sudut yang diberikan, meskipun tidak ada panjang sisi yang spesifik.
Mari kita lihat hubungan antara sisi-sisi segitiga yang terkait dengan sudut A dan B.
Misalkan jarak AB = x.

Dari gambar, kita bisa menggunakan aturan sinus:

AC / sin(sudut di B) = BC / sin(sudut di A)
AC / sin(30°) = BC / sin(45°)

Karena kedua orang berjalan dari A dan B ke C pada saat yang sama, maka waktu tempuh mereka sama (t).
Jarak = Kecepatan × Waktu

Untuk orang dari A:
AC = vA × t

Untuk orang dari B:
BC = vB × t

Maka, kita dapatkan perbandingan jarak:
AC / BC = (vA × t) / (vB × t) = vA / vB

Sekarang kita substitusikan hubungan jarak dari aturan sinus:

(BC / sin(45°)) / sin(30°) = BC / sin(45°)
AC = BC * (sin(30°) / sin(45°))

AC = BC * (1/2 / (1/2 √2))
AC = BC * (1/√2)

Jadi, AC / BC = 1/√2.

Karena AC / BC = vA / vB, maka:

vA / vB = 1/√2

Ini berarti vA = (1/√2) vB atau vA = (√2/2) vB. Ini tidak sesuai dengan pilihan yang ada.

Mari kita periksa kembali penggunaan aturan sinus.

AC / sin B = BC / sin A
AC / sin 30° = BC / sin 45°
AC / (1/2) = BC / (√2/2)
AC = BC * (1/2) / (√2/2)
AC = BC * (1/√2)

Jadi, AC = BC/√2.

Sekarang, substitusikan ke dalam persamaan jarak = kecepatan × waktu:

AC = vA * t
BC = vB * t

AC / BC = vA / vB

(BC/√2) / BC = vA / vB

1/√2 = vA / vB

vA = vB / √2

Ini masih belum sesuai dengan pilihan.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menganggap salah satu sisi diketahui. Misalkan sisi BC = 1.
Menurut aturan sinus:
AC / sin 30° = 1 / sin 45°
AC = sin 30° / sin 45° = (1/2) / (√2/2) = 1/√2.

Jadi, jarak AC = 1/√2 dan jarak BC = 1.

Karena waktu tempuh sama (t):
AC = vA * t  => 1/√2 = vA * t
BC = vB * t  => 1 = vB * t

Dari persamaan kedua, t = 1/vB.
Substitusikan ke persamaan pertama:
1/√2 = vA * (1/vB)
1/√2 = vA / vB
vA = vB / √2

Masih sama. Mari kita periksa pilihan jawaban.
Ada kemungkinan saya salah menginterpretasikan gambar atau soalnya.

Perhatikan kembali aturan sinus:
AC / sin B = BC / sin A
AC / sin 30° = BC / sin 45°

Jika kita ingin mencari vA dalam kaitannya dengan vB:
vA / vB = AC / BC

Dari aturan sinus:
AC = BC * (sin 30° / sin 45°)
AC / BC = sin 30° / sin 45°
AC / BC = (1/2) / (√2/2)
AC / BC = 1/√2

Ini berarti vA / vB = 1/√2, atau vA = vB/√2. Ini tidak ada di pilihan.

Mari kita balik rasio kecepatan yang dicari: kecepatan orang dari A harus ... kali kecepatan orang yang dari B.
Jadi kita mencari vA / vB.

Perhatikan kembali gambar dan soal.
Ada sebuah garis vertikal dari C ke garis AB, sebut saja titik D.
Sudut CAD = 45 derajat, sudut CBD = 30 derajat.
Jika kita misalkan CD = h, maka:
AD = CD / tan 45° = h / 1 = h
BD = CD / tan 30° = h / (1/√3) = h√3

Jarak AB = AD + BD = h + h√3 = h(1+√3).

Sekarang kita hitung jarak AC dan BC menggunakan Phytagoras:
AC = √(AD² + CD²) = √(h² + h²) = √(2h²) = h√2
BC = √(BD² + CD²) = √((h√3)² + h²) = √(3h² + h²) = √(4h²) = 2h

Sekarang kita cari perbandingan vA/vB:
vA / vB = AC / BC = (h√2) / (2h) = √2 / 2 = 1/√2.

Ini masih sama. Saya curiga ada kesalahan dalam pemahaman soal atau pilihan jawaban.

Mari kita coba gunakan informasi sudut secara langsung pada aturan sinus pada segitiga ABC.
Misalkan panjang sisi AB = x.

Aturan Sinus:
AC / sin(30°) = BC / sin(45°) = AB / sin(105°)

AC = AB * sin(30°) / sin(105°)
BC = AB * sin(45°) / sin(105°)

AC / BC = (AB * sin(30°) / sin(105°)) / (AB * sin(45°) / sin(105°))
AC / BC = sin(30°) / sin(45°)
AC / BC = (1/2) / (√2/2)
AC / BC = 1/√2

Ini menghasilkan vA / vB = 1/√2.

Mari kita periksa pilihan jawaban lagi.
(A) 2 kali
(B) 1/2 akar(2) kali = √2/4 kali
(C) akar(2) kali
(D) 2 akar(2) kali
(E) akar(3) kali

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban yang diberikan karena hasil perhitungan saya secara konsisten menghasilkan vA = vB / √2, yang berarti vA adalah 1/√2 kali vB.

Namun, jika kita membalikkan pertanyaan menjadi "kecepatan berjalan dari titik B harus ... kali kecepatan orang yang dari A", maka vB/vA = √2 kali, yang juga tidak ada di pilihan.

Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam penempatan sudut pada gambar atau pemahaman soal.
Jika kita asumsikan jarak yang ditempuh adalah sama, maka kecepatannya juga sama.
Jika kita asumsikan waktu yang ditempuh berbeda, maka kita perlu informasi tambahan.

Kembali ke kasus dengan garis tinggi dari C ke AB di titik D.
AD = h, BD = h/√3.
AC = h√2, BC = 2h.

vA / vB = AC / BC = h√2 / 2h = √2 / 2 = 1/√2.

Mari kita coba menginterpretasikan pilihan jawaban dengan cara lain.
Misalkan kita ingin mencari vA = k * vB. Maka k = vA/vB.
Kita dapatkan k = 1/√2.

Jika kita mengalikan 1/√2 dengan √2/√2, kita dapatkan √2/2.

Coba kita balik logikanya. Jika vA = √2 * vB (Pilihan C), maka AC = √2 * BC. Dari perhitungan kita, AC = BC/√2. Jadi ini salah.

Jika vA = 2 * vB (Pilihan A), maka AC = 2 * BC. Salah.

Jika vA = (1/2)√2 * vB (Pilihan B), maka AC = (√2/2) * BC. Salah.

Jika vA = 2√2 * vB (Pilihan D), maka AC = 2√2 * BC. Salah.

Jika vA = √3 * vB (Pilihan E), maka AC = √3 * BC. Salah.

Ada kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban yang diberikan. Namun, berdasarkan aturan sinus dan pemahaman soal yang umum, perbandingan kecepatan berbanding lurus dengan perbandingan jarak yang ditempuh jika waktu sama.

Perhitungan saya secara konsisten menunjukkan bahwa vA/vB = 1/√2.

Jika kita melihat pilihan (C) akar(2) kali, ini berarti vA = √2 * vB. Ini akan terjadi jika AC = √2 * BC. Tapi dari aturan sinus, AC = BC/√2.

Mari kita periksa kembali hubungan sudut pada gambar.
Jika sudut A = 30° dan sudut B = 45°:
AC / sin 45° = BC / sin 30°
AC / (√2/2) = BC / (1/2)
AC = BC * (√2/2) / (1/2)
AC = BC * √2

Dalam kasus ini, vA / vB = AC / BC = √2.
Ini sesuai dengan pilihan (C).

Mungkin sudut pada gambar tertukar.
Jika A=30 dan B=45:
AC = vA * t
BC = vB * t
vA/vB = AC/BC
AC/sin B = BC/sin A
AC/sin 45 = BC/sin 30
AC/(√2/2) = BC/(1/2)
AC = BC * (√2/2) / (1/2) = BC * √2

vA/vB = √2.

Dengan asumsi sudut pada gambar tertukar (A=30°, B=45°), maka jawaban yang benar adalah (C).

Namun, berdasarkan soal yang tertulis dengan A=45° dan B=30°:
vA/vB = 1/√2.

Karena harus memilih salah satu jawaban, dan jika kita mengasumsikan ada kesalahan pada penempatan sudut di gambar, maka pilihan (C) akan sesuai jika sudut A adalah 30° dan sudut B adalah 45°.

Jika kita tetap pada soal asli dengan A=45° dan B=30°:
AC = h√2
BC = 2h
vA/vB = AC/BC = h√2 / 2h = √2 / 2 = 1/√2.

Mari kita lihat apakah ada cara untuk mendapatkan salah satu pilihan jawaban dari 1/√2.
1/√2 = √2/2. Pilihan (B) adalah √2/4. Pilihan (C) adalah √2.

Saya akan berasumsi ada kesalahan pada gambar dan sudut A seharusnya 30 derajat dan sudut B seharusnya 45 derajat untuk mendapatkan jawaban yang sesuai dengan pilihan yang ada, yaitu (C).