Perhatikan gambar berikut! D E F y 105 12 cm (24+x) cm P O

a. DF = 84 cm, OP = 15 cm. b. y = 84 cm, z = 37.5°.

Pembahasan

Diketahui dua segitiga, DEF dan OPQ, yang sebangun. Kesebanginan berarti perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama besar dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Dari gambar, kita dapat mengidentifikasi pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian:

Sisi-sisi:
DE bersesuaian dengan OP
EF bersesuaian dengan PQ
DF bersesuaian dengan OQ

Sudut-sudut:
∠D bersesuaian dengan ∠O
∠E bersesuaian dengan ∠P
∠F bersesuaian dengan ∠Q

Dari gambar, kita memiliki:
DE = 12 cm
EF = (24+x) cm
DF = y cm

OP = 15 cm
PQ = 21 cm
OQ = 105 cm

∠DEF = ∠P (karena sebangun)
∠DFE = ∠PQO (karena sebangun)
∠EDF = ∠POQ (karena sebangun)

Kita juga diberikan informasi mengenai sudut:
∠FDE = 105° (Ini adalah ∠D)
∠OQP = z
∠EPF = y (Ini adalah ∠E)

Karena segitiga DEF sebangun dengan segitiga OPQ, maka:
∠DEF = ∠OPQ = y
∠DFE = ∠OQP = z
∠EDF = ∠POQ = 105°

Ini berarti bahwa sudut di O (∠POQ) adalah 105°.

Sekarang kita gunakan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian:
DE/OP = EF/PQ = DF/OQ

12/15 = (24+x)/21 = y/105

a. Menentukan panjang DF dan OP:
Panjang OP sudah diketahui dari gambar, yaitu 15 cm.
Untuk mencari panjang DF (y), kita gunakan perbandingan:
DE/OP = DF/OQ
12/15 = y/105

Untuk menyelesaikan y, kita bisa mengalikan silang:
15 * y = 12 * 105
15y = 1260
y = 1260 / 15
y = 84 cm
Jadi, panjang DF adalah 84 cm.

Untuk mencari panjang EF (24+x), kita gunakan perbandingan:
DE/OP = EF/PQ
12/15 = (24+x)/21

Kalikan silang:
15 * (24+x) = 12 * 21
15 * 24 + 15x = 252
360 + 15x = 252
15x = 252 - 360
15x = -108
x = -108 / 15
x = -7.2

Maka, panjang EF = 24 + x = 24 + (-7.2) = 16.8 cm.

Mari kita cek kembali perbandingan: DE/OP = 12/15 = 0.8. EF/PQ = 16.8/21 = 0.8. DF/OQ = 84/105 = 0.8. Perbandingannya konsisten.

b. Menentukan besar y dan z:
Dari penamaan sudut, ∠DEF = y dan ∠DFE = z. Namun, pada soal, y dan z diberikan sebagai panjang sisi dan ukuran sudut.

Jika y yang dimaksud adalah panjang sisi DF, maka y = 84 cm.
Jika y yang dimaksud adalah ∠DEF, maka kita perlu mencari nilai sudut ini. Namun, dalam konteks kesebangunan segitiga, y biasanya merujuk pada panjang sisi jika diberi label seperti itu, atau pada sudut jika diberi notasi sudut.
Mari kita asumsikan y dalam pertanyaan merujuk pada panjang sisi DF.

Untuk mencari nilai z, yang merupakan ukuran sudut ∠OQP:
Karena segitiga DEF sebangun dengan segitiga OPQ, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
∠DFE = ∠OQP = z

Kita tahu bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°.
Dalam segitiga DEF:
∠EDF + ∠DEF + ∠DFE = 180°
105° + ∠DEF + ∠DFE = 180°
∠DEF + ∠DFE = 180° - 105°
∠DEF + ∠DFE = 75°

Dalam segitiga OPQ:
∠POQ + ∠OPQ + ∠OQP = 180°
105° + ∠OPQ + z = 180°
∠OPQ + z = 75°

Karena ∠DEF = ∠OPQ, maka:
∠DFE = ∠DEF
∠DFE + ∠DFE = 75°
2 * ∠DFE = 75°
∠DFE = 37.5°

Oleh karena itu, z = ∠OQP = ∠DFE = 37.5°.

Ringkasan:
a. Panjang DF = 84 cm dan OP = 15 cm.
b. Besar y (jika merujuk pada panjang DF) = 84 cm. Besar z = 37.5°.

Jika y dalam pertanyaan merujuk pada ∠DEF, maka y = ∠OPQ. Kita perlu mencari ∠OPQ. Dari ∠OPQ + z = 75° dan z = 37.5°, maka ∠OPQ = 75° - 37.5° = 37.5°. Jadi, jika y adalah sudut, maka y = 37.5°.

Namun, berdasarkan penempatan label 'y' pada sisi DF dan 'z' pada sudut ∠OQP, interpretasi yang paling logis adalah:
a. Panjang DF = 84 cm, Panjang OP = 15 cm.
b. Besar y = 84 cm (panjang DF), Besar z = 37.5° (sudut ∠OQP).

Mari kita perjelas berdasarkan penandaan pada gambar:
y tertera di samping sisi DF, menunjukkan panjang sisi DF.
z tertera di samping sudut ∠OQP, menunjukkan ukuran sudut ∠OQP.

Jadi, jawaban yang paling tepat adalah:
a. Panjang DF = 84 cm, Panjang OP = 15 cm.
b. Besar y (yaitu panjang DF) = 84 cm. Besar z (yaitu ∠OQP) = 37.5°.