Perhatikan gambar berikut.Tentukan luas maksimum daerah

Luas maksimum dihitung dengan mengoptimalkan fungsi luas persegi panjang yang dibentuk berdasarkan kurva dan batasan yang diberikan dalam gambar.

Pembahasan

Untuk menentukan luas maksimum daerah persegi panjang yang diarsir, kita perlu memahami hubungan antara dimensi persegi panjang dan area yang dibatasi oleh kurva atau kondisi tertentu dalam gambar. Diasumsikan gambar tersebut menunjukkan sebuah kurva (misalnya, parabola atau fungsi lainnya) dan persegi panjang yang di dalamnya dengan salah satu sisinya terletak pada sumbu x dan sisi lainnya pada kurva.

Misalkan panjang alas persegi panjang adalah 'x' dan tingginya adalah 'y', di mana y adalah nilai fungsi pada x. Luas persegi panjang, A, adalah A = x * y.

Tanpa gambar spesifik, kita tidak dapat memberikan nilai numerik. Namun, proses umumnya adalah:
1. Definisikan fungsi yang mewakili kurva (misalnya, y = f(x)).
2. Definisikan luas persegi panjang A sebagai fungsi dari satu variabel (misalnya, A(x) = x * f(x)).
3. Cari nilai x yang memaksimalkan A(x) menggunakan kalkulus (turunan pertama A'(x) = 0) atau dengan menganalisis sifat fungsi luas tersebut.

Jika gambar tersebut adalah sebuah parabola y = h^2 - x^2 yang simetris terhadap sumbu y, dan persegi panjang memiliki alas 2x dan tinggi y, maka luasnya adalah A = (2x) * y = 2x(h^2 - x^2). Turunan pertama A'(x) = 2h^2 - 6x^2. Dengan menyetel A'(x) = 0, kita mendapatkan x = h/√3. Luas maksimumnya adalah 2 * (h/√3) * (h^2 - (h/√3)^2) = 2 * (h/√3) * (2h^2/3) = 4h^3 / (3√3).