Perhatikan gambar berikut. y^2=x+1 a. Tentukan volume benda

Menentukan volume benda putar memerlukan informasi lebih detail tentang titik P dan Q. Namun, jika daerah dibatasi oleh y=√(x+1), sumbu X, dan garis x=0 hingga x=4, volume putar mengelilingi sumbu X adalah 25/2 π. Maka koordinat titik S adalah (4, √5) atau (4, -√5), dengan asumsi P=(-1,0).

Pembahasan

Soal ini terdiri dari beberapa bagian:

**Bagian a: Volume benda putar jika bangun POQ diputar 360° mengelilingi sumbu X.**
Untuk menjawab ini, kita perlu mengetahui koordinat titik P dan Q. Asumsikan P dan Q adalah titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat atau titik-titik yang spesifik pada kurva. Tanpa informasi lebih lanjut mengenai P dan Q, kita tidak dapat menghitung volume.
Namun, jika 'bangun POQ' merujuk pada daerah yang dibatasi oleh kurva y²=x+1, sumbu X, dan garis vertikal tertentu, kita bisa melanjutkan.
Jika kita menganggap P dan Q adalah titik-titik pada kurva di mana x=0 dan x=a, maka y²=x+1 menjadi x = y² - 1. Untuk sumbu X, kita perlu y dalam bentuk x, atau x dalam bentuk y. x = y² - 1.
Jika kita memutar daerah di bawah kurva x = y² - 1 dari y=0 ke y=b mengelilingi sumbu X, kita gunakan metode cakram/cincin. Volume = ∫π * [y(x)]² dx. Namun, kurva y²=x+1 berarti y = ±√(x+1). Jika kita memutar daerah antara y=√(x+1) dan y=-√(x+1) dari x=x1 ke x=x2 mengelilingi sumbu X, volume dihitung dengan integral:
V = ∫[π(√(x+1))² - π(-√(x+1))²] dx = ∫[π(x+1) - π(x+1)] dx = 0, jika batasnya simetris.

Jika POQ adalah daerah yang dibatasi oleh y = √(x+1), sumbu X, dan garis x=0 (titik P = (-1,0)) dan x=a (titik Q = (a, √(a+1))), maka:
V_x = ∫[0 ke a] π [√(x+1)]² dx = ∫[0 ke a] π (x+1) dx
V_x = π [½x² + x] dari 0 ke a
V_x = π (½a² + a)

**Bagian b: Volume benda putar jika bangun POQ diputar 360° mengelilingi sumbu Y.**
Untuk memutar mengelilingi sumbu Y, kita perlu mengekspresikan x dalam bentuk y. Dari y² = x + 1, kita dapatkan x = y² - 1.
Jika POQ adalah daerah yang dibatasi oleh x = y² - 1, sumbu Y, dan garis horizontal y=0 (titik O) dan y=b (titik Q), maka:
V_y = ∫[0 ke b] 2πy * x dy = ∫[0 ke b] 2πy * (y² - 1) dy
V_y = 2π ∫[0 ke b] (y³ - y) dy
V_y = 2π [¼y⁴ - ½y²] dari 0 ke b
V_y = 2π (¼b⁴ - ½b²)

Perbandingan hasil (a) dan (b) sangat bergantung pada definisi P dan Q serta batas integrasi.

**Bagian c: Menentukan koordinat titik S jika daerah PRS diputar 360° mengelilingi sumbu X menghasilkan volume 25/2 π satuan volume.**
Asumsikan P adalah titik potong kurva dengan sumbu Y (y²=x+1 => jika x=0, y²=1 => y=±1. Ambil P=(-1,0) sebagai batas kiri, dan Q sebagai batas kanan).
Asumsikan daerah PRS dibatasi oleh kurva y²=x+1 (atau x=y²-1), sumbu X, dan dua garis vertikal. Namun, pernyataan 'daerah PRS' menyiratkan P, R, S adalah titik-titik yang mendefinisikan daerah tersebut.

Jika kita menginterpretasikan daerah PRS sebagai daerah di bawah kurva y=√(x+1) dari x=x_P hingga x=x_S, dan sumbu X adalah batas bawahnya. Titik P dan R mungkin titik pada kurva, dan S juga titik pada kurva. Tanpa koordinat P dan R, kita perlu asumsi.

Asumsi umum: Daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, dan garis x=a serta x=b. Jika daerah PRS diputar mengelilingi sumbu X, volume dihitung dengan V = ∫[a ke b] π [f(x)]² dx.
Kita tahu y² = x + 1. Jadi, [f(x)]² = y² = x + 1.
Volume = ∫[a ke b] π (x + 1) dx = 25/2 π.
∫[a ke b] (x + 1) dx = 25/2.
[½x² + x] dari a ke b = 25/2.
(½b² + b) - (½a² + a) = 25/2.

Kita perlu tahu P dan R untuk menentukan a dan b.
Jika kita asumsikan P adalah titik potong kurva dengan sumbu Y (x=0), maka y²=1, y=±1. Titik pada sumbu X adalah (-1,0). Jika P=(-1,0), maka a=-1.
(½b² + b) - (½(-1)² + (-1)) = 25/2.
(½b² + b) - (½ - 1) = 25/2.
(½b² + b) - (-½) = 25/2.
½b² + b + ½ = 25/2.
Kalikan 2:
b² + 2b + 1 = 25.
b² + 2b - 24 = 0.
Faktorkan:
(b + 6)(b - 4) = 0.
Maka b = -6 atau b = 4.
Karena biasanya kita mengambil batas x positif, maka b = 4.
Jika b=4, maka titik S memiliki koordinat x = 4. Substitusikan ke persamaan kurva: y² = 4 + 1 = 5 => y = ±√5.
Jadi, koordinat titik S bisa (4, √5) atau (4, -√5).

Jika kita mengasumsikan daerahnya adalah daerah positif dari y=√(x+1) dari x=0 (titik P=(0,1)) hingga x=S, maka a=0.
(½b² + b) - (½(0)² + 0) = 25/2.
½b² + b = 25/2.
b² + 2b = 25.
b² + 2b - 25 = 0.
Gunakan rumus kuadrat: b = [-2 ± √(2² - 4*1*(-25))] / 2 = [-2 ± √(4 + 100)] / 2 = [-2 ± √104] / 2 = -1 ± √26.
Karena b biasanya positif, b = -1 + √26. Maka koordinat S adalah (-1 + √26, √(-1+√26)+1).

Interpretasi yang paling mungkin untuk 'daerah PRS' dan sumbu X adalah daerah di bawah kurva y=√(x+1) dari suatu titik P hingga titik S, dengan P adalah titik potong kurva dengan sumbu Y (x=0) atau titik potong dengan sumbu X (x=-1).

Jika titik P adalah (-1, 0) dan titik S adalah (x_s, y_s) dengan y_s = √(x_s+1), maka batas integrasi adalah dari -1 hingga x_s.
V = ∫[-1 ke x_s] π (x+1) dx = 25/2 π.
[½x² + x] dari -1 ke x_s = 25/2.
(½x_s² + x_s) - (½(-1)² + (-1)) = 25/2.
(½x_s² + x_s) - (½ - 1) = 25/2.
½x_s² + x_s + ½ = 25/2.
x_s² + 2x_s + 1 = 25.
(x_s + 1)² = 25.
x_s + 1 = ±5.
x_s = 4 atau x_s = -6.
Karena kurva y²=x+1 terdefinisi untuk x ≥ -1, maka x_s = 4.
Jika x_s = 4, maka y_s² = 4 + 1 = 5 => y_s = ±√5.
Jadi, jika P=(-1,0) dan S adalah titik pada kurva dengan x=4, maka S bisa (4, √5) atau (4, -√5).
Asumsi paling masuk akal adalah S adalah titik pada kurva di kuadran pertama, sehingga S = (4, √5).