Kelas 11Kelas 10mathGeometri
Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui ACD=BCD=30 dan
Pertanyaan
Perhatikan gambar di bawah ini. Diketahui ACD=BCD=30 dan CD=10 cm. Keliling ABC adalah ... cm
Solusi
Verified
20√3
Pembahasan
Untuk mencari keliling segitiga ABC, kita perlu mengetahui panjang ketiga sisinya (AB, BC, dan AC). Diketahui: - Segitiga ACD dan BCD - Sudut ACD = 30 derajat - Sudut BCD = 30 derajat - Panjang CD = 10 cm Karena sudut ACD = sudut BCD, maka garis CD adalah garis bagi sudut ACB. Ini berarti segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan AC = BC. Kita dapat menggunakan trigonometri pada segitiga siku-siku yang terbentuk jika kita menarik garis dari C tegak lurus ke AB, atau menggunakan aturan sinus/kosinus. Namun, karena kita tidak memiliki informasi tentang sudut lain atau panjang sisi lain secara langsung, mari kita analisis segitiga ACD dan BCD. Dalam segitiga ACD, kita tahu sudut ACD = 30 derajat dan sisi CD = 10 cm. Untuk mencari panjang AC, kita bisa menggunakan hubungan trigonometri jika kita tahu sudut lain atau panjang sisi AD. Namun, soal ini tampaknya tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan panjang AC dan BC secara langsung dari sudut ACD dan BCD saja, kecuali jika ada asumsi tambahan (misalnya, segitiga tersebut siku-siku di D, atau D adalah titik tengah AB, yang tidak dinyatakan). Mari kita asumsikan bahwa informasi yang diberikan cukup dan ada cara untuk menyelesaikannya. Jika kita menganggap segitiga ADC dan BDC kongruen (yang akan terjadi jika CD adalah garis tinggi dan garis bagi), maka AD = BD. Jika kita menggunakan aturan sinus pada segitiga ACD: AD / sin(30) = CD / sin(sudut CAD) AD / (1/2) = 10 / sin(sudut CAD) 2 * AD = 10 / sin(sudut CAD) Dan pada sisi AC: AC / sin(sudut ADC) = CD / sin(sudut CAD) AC / sin(sudut ADC) = 10 / sin(sudut CAD) Karena sudut ACD = sudut BCD = 30 derajat, maka sudut ACB = 60 derajat. Jika kita menganggap CD tegak lurus terhadap AB (menjadikan segitiga ABC sama kaki dan CD sebagai garis tinggi), maka segitiga ADC adalah segitiga siku-siku di D. Dalam kasus ini: Pada segitiga ADC (siku-siku di D): cos(30) = CD / AC AC = CD / cos(30) AC = 10 / (akar(3)/2) AC = 20 / akar(3) AC = (20 * akar(3)) / 3 Karena AC = BC, maka BC = (20 * akar(3)) / 3. Untuk mencari AB, kita perlu AD. Jika segitiga ADC siku-siku di D, maka: tan(30) = AD / CD AD = CD * tan(30) AD = 10 * (1 / akar(3)) AD = 10 / akar(3) Karena AD = BD, maka AB = 2 * AD = 20 / akar(3) = (20 * akar(3)) / 3. Keliling ABC = AB + BC + AC Keliling ABC = (20 * akar(3)) / 3 + (20 * akar(3)) / 3 + (20 * akar(3)) / 3 Keliling ABC = 3 * (20 * akar(3)) / 3 Keliling ABC = 20 * akar(3) Nilai 20 * akar(3) kira-kira adalah 20 * 1.732 = 34.64 cm. Namun, jika kita melihat pilihan jawaban yang mungkin (yang tidak disertakan dalam soal), seringkali soal geometri seperti ini dirancang agar memiliki hasil yang lebih sederhana. Mari kita periksa kembali interpretasi soal. Jika ACD=30 dan BCD=30, maka ACB=60. Jika CD=10, ini adalah sisi yang menghubungkan sudut C ke sisi AB. Jika CD adalah garis tinggi, maka segitiga ABC adalah sama kaki. Jika CD adalah garis berat, maka D adalah titik tengah AB. Jika kita mengasumsikan bahwa ini adalah segitiga sama kaki ABC dengan CD sebagai garis tinggi dan garis bagi sudut C, maka segitiga ADC adalah segitiga siku-siku dengan sudut 30, 60, 90. Dalam segitiga siku-siku 30-60-90: - Sisi di depan sudut 30 adalah x - Sisi di depan sudut 60 adalah x * akar(3) - Sisi di depan sudut 90 (hipotenusa) adalah 2x Dalam segitiga ADC: - Sudut ACD = 30 - Sudut CAD = 60 (karena ACB = 60 dan segitiga sama kaki, sudut CAB = sudut CBA = (180-60)/2 = 60, jadi segitiga sama sisi) - Sudut ADC = 90 Jika segitiga ABC sama sisi, maka CD bukanlah garis tinggi ke AB karena sudut CAD bukan 90 derajat. Asumsi yang paling mungkin agar soal ini dapat diselesaikan dengan informasi yang diberikan adalah bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan CD sebagai garis tinggi ke AB, dan titik D berada pada AB. Dalam kasus ini, sudut ADC = 90 derajat. Jika sudut ADC = 90, maka: Pada segitiga ADC: cos(ACD) = CD / AC cos(30) = 10 / AC AC = 10 / cos(30) = 10 / (sqrt(3)/2) = 20/sqrt(3) tan(ACD) = AD / CD tan(30) = AD / 10 AD = 10 * tan(30) = 10 * (1/sqrt(3)) = 10/sqrt(3) Karena segitiga ABC sama kaki (AC=BC), dan CD adalah garis tinggi, maka D adalah titik tengah AB. Jadi AB = 2 * AD. AB = 2 * (10/sqrt(3)) = 20/sqrt(3) Keliling ABC = AC + BC + AB Keliling ABC = (20/sqrt(3)) + (20/sqrt(3)) + (20/sqrt(3)) Keliling ABC = 60/sqrt(3) = 60*sqrt(3)/3 = 20*sqrt(3) cm. Nilai 20*sqrt(3) ≈ 34.64 cm. Jika soal ini berasal dari konteks ujian pilihan ganda dan ada jawaban yang berbeda dari hasil ini, mungkin ada interpretasi lain atau kesalahan dalam soal. Namun, berdasarkan informasi yang diberikan dan asumsi standar untuk soal geometri, hasil perhitungan adalah 20 * akar(3) cm.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Segitiga
Section: Sifat Segitiga Sama Kaki Dan Trigonometri Dasar
Apakah jawaban ini membantu?