Perhatikan gambar kubus ABCD EFGH. Jarak titik C dan bidang

2/3 diagonal ruang kubus atau 2s/sqrt(3) jika panjang rusuk adalah s

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik C ke bidang AFH pada kubus ABCD EFGH, kita perlu menggunakan konsep proyeksi titik ke bidang dan menghitung jarak tegak lurus.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 's'. Kita dapat memposisikan kubus dalam sistem koordinat:
- A = (0, 0, s)
- B = (s, 0, s)
- C = (s, s, s)
- D = (0, s, s)
- E = (0, 0, 0)
- F = (s, 0, 0)
- G = (s, s, 0)
- H = (0, s, 0)

Titik C memiliki koordinat (s, s, s).
Bidang AFH dibentuk oleh titik A=(0, 0, s), F=(s, 0, 0), dan H=(0, s, 0).

Untuk mencari jarak titik C ke bidang AFH, kita perlu mencari persamaan bidang AFH.
Kita bisa menggunakan vektor untuk mencari vektor normal bidang.

Vektor AF = F - A = (s, 0, 0) - (0, 0, s) = (s, 0, -s)
Vektor AH = H - A = (0, s, 0) - (0, 0, s) = (0, s, -s)

Normal bidang (n) = AF x AH
n =  | i   j   k  |
     | s   0  -s |
     | 0   s  -s |

n = i(0 - (-s^2)) - j(-s^2 - 0) + k(s^2 - 0)
n = s^2 i + s^2 j + s^2 k
n = (s^2, s^2, s^2)

Kita bisa menyederhanakan normal menjadi (1, 1, 1) dengan membagi dengan s^2.

Persamaan bidang AFH adalah a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0, di mana (a, b, c) adalah normal bidang dan (x0, y0, z0) adalah salah satu titik di bidang (misal titik A).
1(x - 0) + 1(y - 0) + 1(z - s) = 0
x + y + z - s = 0

Sekarang, gunakan rumus jarak titik ke bidang:
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Di sini, titik C = (s, s, s) dan bidangnya adalah x + y + z - s = 0 (A=1, B=1, C=1, D=-s).

Jarak = |1(s) + 1(s) + 1(s) - s| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2)
Jarak = |s + s + s - s| / sqrt(1 + 1 + 1)
Jarak = |2s| / sqrt(3)
Jarak = 2s / sqrt(3)

Untuk menyederhanakan, kalikan dengan sqrt(3)/sqrt(3):
Jarak = (2s * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3))
Jarak = (2s * sqrt(3)) / 3

Jika kita melihat jarak ini dalam konteks diagonal bidang dan ruang, jarak titik C ke bidang AFH adalah jarak dari C ke proyeksinya pada bidang AFH. Proyeksi C ke bidang AFH adalah titik pusat kubus jika kita memotong kubus secara diagonal. Namun, analisis vektor di atas adalah metode yang lebih formal.

Alternatif lain menggunakan geometri:
Bidang AFH memotong kubus membentuk segitiga sama sisi AFH. Jarak titik C ke bidang AFH adalah jarak dari C ke proyeksinya pada bidang tersebut. Proyeksi C pada bidang AFH adalah titik tengah dari diagonal ruang yang melalui C dan titik yang berlawanan (yang tidak ada di bidang AFH). Dalam hal ini, C adalah salah satu titik sudut atas. Bidang AFH adalah bidang diagonal.

Jarak titik C ke bidang AFH sama dengan 1/3 dari tinggi segitiga sama sisi yang dibentuk oleh proyeksi titik-titik sudut kubus pada bidang diagonal yang sesuai. Namun, pendekatan aljabar dengan vektor lebih langsung.

Mari kita periksa kembali perhitungan vektor:
Bidang AFH melalui A(0,0,s), F(s,0,0), H(0,s,0).
Persamaan bidang: x/s + y/s + z/s = 1  => x + y + z = s.

Jarak titik C(s,s,s) ke bidang x+y+z-s=0:
Jarak = |s+s+s-s| / sqrt(1^2+1^2+1^2) = |2s| / sqrt(3) = 2s/sqrt(3).

Jika panjang rusuk adalah 's', jarak titik C ke bidang AFH adalah 2/3 dari panjang diagonal ruang kubus. Diagonal ruang adalah s*sqrt(3).
(2/3) * s*sqrt(3) = 2s*sqrt(3) / 3 = 2s/sqrt(3). Ini konsisten.

Jawaban bergantung pada panjang rusuk kubus, yang tidak diberikan. Jika kita mengasumsikan panjang rusuk adalah s, maka jawabannya adalah (2s*sqrt(3))/3.